Question

如圖6，用水平線與豎直線將平面分成若干個邊長為1的正方形格子，點O、A、B均在正方形格子的頂點(格點)處，其中點O與點A位于同一水平線上，相距a格，點O與點B位于同一豎直線上，相距b格.

(1)若a=5，b=4，則△OAB中(包括三條邊)共有多少個格點？

(2)若a，b互質，則在線段AB上(不包括A、B兩點)是否有格點？證明你的結論.

(3)若a，b互質，且a＞b＞8，△OAB中(包括三條邊)共有67個格點，求a，b的值.

Answer 1

(1)如圖2，a=5，b=4，△OAB中(包括三條邊)的格點的個數為1+2+3+4+6=16.

　(2)若a，b互質，假設線段AB上存在某一點P(恰為格點)，可設點P到點O的水平距離為x，豎直距離為y(x，y均為整數)，則

　　S_△AOB= S_△AOP+S_△BOP=ay+bx，

　　所以ab=ay+bx，

　　即ab=ay+bx，ay=b(a-x).

　　因為a，b互質，

　　所以a-x是a的倍數，它與a-x＜a矛盾，

　　因此，假設不正確，即線段AB上(除A、B兩點外)不存在其它格點.

(3)由(2)知，線段AB上(除A、B兩點外)不存在其它的格點.

　　以OA、OB為邊作一個矩形OACB，則在△CAB中格點的個數與△OAB中格點的個數相同，且只有A、B兩點是公共的，而矩形OACB中格點的個數為(a+1)(b+1).

因此，(a+1)(b+1)+2=2×67=134，

　　(a+1)(b+1)=132=2×2×3×11.

　　由a＞b＞8，得a+1=12，b+1=11，

　　即a=11，b=10.