Question

已知拋物線的函數解析式為y=ax²+bx-3a（b＜0），若這條拋物線經過點（0，-3），方程ax²+bx-3a=0的兩根為x₁，x₂，且|x₁-x₂|=4．
（1）求拋物線的頂點坐標．
（2）已知實數x＞0，請證明x+≥2，并說明x為何值時才會有x+=2．

Answer 1

【答案】分析：（1）求拋物線的頂點坐標，需要先求出拋物線的解析式，即確定待定系數a、b的值．已知拋物線圖象與y軸交點，可確定解析式中的常數項（由此得到a的值）；然后從方程入手求b的值，題干給出了兩根差的絕對值，將其進行適當變形（轉化為兩根和、兩根積的形式），結合根與系數的關系即可求出b的值．
（2）x•=1，因此將x+配成完全平方式，然后根據平方的非負性即可得證．
解答：解：（1）∵拋物線過（0，-3）點，∴-3a=-3∴a=1∴y=x²+bx-3
∵x²+bx-3=0的兩根為x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-b，x₁•x₂=-3
∵|x₁-x₂|=4
∴|x₁-x₂|==4
∴
∴b²=4
∵b＜0
∴b=-2
∴y=x²-2x-3=（x-1）²-4
∴拋物線的頂點坐標為（1，-4）
（2）∵x＞0，
∴
∴x+≥2，顯然當x=1時，才有x+=2．
點評：本題考查了二次函數的性質，解題過程中完全平方式的變形被多次提及，應熟練掌握并能靈活應用．