Question

（2012•沙縣質檢）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，過點C作CE⊥AB，垂足為E，將△AEC沿AC翻折得到△AFC，AF交⊙O于點D，連接CD、OC．
（1）CF是⊙O的切線嗎？請說明理由．
（2）當∠CAE=30°時，判斷四邊形AOCD是何種特殊四邊形，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由折疊的性質，可得∠EAC=∠FAC，∠AFC=∠AEC=90°，又由OA=OC，易證得∠ACO+∠FCA=90°，即可證得CF是⊙O的切線；
（2）由∠CAE=30°，根據折疊的性質與圓周角定理，可證得AD∥OC，△AOD是等邊三角形，即可證得四邊形AOCD是菱形．

解答：解：（1）CF是⊙O的切線．理由：
∵將△AEC沿AC翻折得到△AFC，CE⊥AB，
∴∠EAC=∠FAC，∠AFC=∠AEC=90°，
∴∠FAC+∠FCA=90°，
又∵AB是⊙O的直徑，C在⊙O上，
∴OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∴∠ACO+∠FCA=90°，
即CF⊥OC，
∴CF是⊙O的切線；

（2）四邊形AOCD是菱形．理由：
連接OD，
∵∠CAE=30°，
∴∠FAO=∠COB=2∠CAE=60°，
∴OC∥AD，
∵OA=OD，
∴△AOD是等邊三角形，
∴AD=OA=OC，
∴AD=OC，
∴四邊形AOCD是平行四邊形，
∴四邊形AOCD是菱形．

點評：此題考查了切線的判定、等腰三角形的性質、等邊三角形的判定與性質以及菱形的判定．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．