Question

（2008•黔南州）如圖，點D、E分別是等邊三角形ABC的BC、AC邊上的點，且BD=CE，AD與BE相交于點F．
（1）試說明△ABD≌△BCE；
（2）BD²=AD•DF嗎？為什么？

Answer 1

分析：（1）由△ABC是等邊三角形，根據等邊三角形的性質，即可得AB=BC=AC，∠ABC=∠BAC=∠C=60°，又由BD=CE，利用SAS，即可判定△ABD≌△BCE；
（2）由△ABD≌△BCE，可得∠BAD=∠CBE，又由∠BDF=∠ADB，即可判定△BDF∽△ADB，由相似三角形的對應邊成比例，即可證得結論．

解答：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠BAC=∠C=60°，…（2分）
在△ABD和△BCE，

AB=BC ∠ABD=∠C BD=CE

，
∴△ABD≌△BCE（SAS）（4分）

（2）BD²=AD•DF．
證明：∵△ABD≌△BCE，
∴∠BAD=∠CBE，（1分）
又∵∠BDF=∠ADB，（2分）
∴△BDF∽△ADB，（4分）
∴

BD

DF

=

AD

DB

，
即BD²=AD•DF．（6分）

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、全等三角新的判定與性質以及等邊三角形的性質．此題難度不大，注意數形結合思想的應用．