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20.如圖,已知函數y=x+1的圖象與y軸交于點A,一次函數y=kx+b的圖象經過點B(0,-1),并且與x軸以及y=x+1的圖象分別交于點C、D.
(1)若點D的橫坐標為1,求A點、D點、C點的坐標;
(2)在第(1)小題的條件下,求四邊形AOCD的面積(即圖中陰影部分的面積);
(3)在第(1)小題的條件下,在y軸上是否存在這樣的點P,使得以點P、B、D為頂點的三角形是等腰三角形?如果存在,求出點P坐標;如果不存在,說明理由.

分析 (1)根據點D在直線y=x+1上,點D的橫坐標為為1即可求出點D坐標,用待定系數法求出直線y=kx+b即可求出A點、B點坐標.
(2)根據S四邊形AOCD=S△AOD+S△OCD即可求出.
(3)分B、D、P為頂點三種情形即可求出.

解答 解:(1)∵點D在直線y=x+1上,點D的橫坐標為1,
∴D(1,2),
∵直線y=kx+b經過D(1,2),B(0,-1),
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{k+b=2}\end{array}\right.$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=-1}\end{array}\right.$,
∴y=3x-1,
∴A(0,1),C($\frac{1}{3}$,0),D(1,2).
(2)S四邊形AOCD=S△AOD+S△OCD=$\frac{1}{2}$×1×1+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×2=$\frac{5}{6}$.
(3)∵BD=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$,
∴①當B為頂點時,BP=BD時,P(0,$\sqrt{10}-1$)或(0,-1-$\sqrt{10}$),
②當D為頂點時,DP=DB,P(0,5),
③當P為頂點時,PD=PB,BD的中點為E($\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$),
設過點E垂直BD的直線為y=-$\frac{1}{3}$x+b′點E代入得到b=$\frac{2}{3}$,
∴直線為y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{2}{3}$,
∴點P為(0,$\frac{2}{3}$).
綜上所述點$P(0,5),(0,\sqrt{10}-1),(0,-\sqrt{10}-1),(0,\frac{2}{3})$.

點評 本題考查一次函數的求法、坐標系中四邊形面積的求法、等腰三角形等有關知識,學會用分割法求面積,求點P坐標時需要分類討論,不能漏解.

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