Question

16．如圖，在△ABC中，BD⊥AC于點(diǎn)D，CE⊥AB于點(diǎn)E，BD，CE交于點(diǎn)O，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，連接EF，DF，DE，則下列結(jié)論：①EF=DF；②AD•AC=AE•AB；③△DOE∽△COB；④若∠ABC=45°時，BE=$\sqrt{2}$FC．
其中正確的是①②③④（把所有正確結(jié)論的序號都選上）

Answer 1

分析 ①由EF和DF均是斜邊BC邊上的中線可迅速作出判斷；
②由B、C、D、E四點(diǎn)共圓及割線定理迅速作出判斷；
③由B、C、D、E四點(diǎn)共圓可得出對應(yīng)圓周角相等，從而得出結(jié)論；
④若∠ABC=45°，則△BEC是等腰直角三角形，而F是BC中點(diǎn)，從而結(jié)論顯然．

解答 解：∵BD⊥AC于點(diǎn)D，CE⊥AB于點(diǎn)E，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，
∴EF=$\frac{1}{2}$BC，DF=$\frac{1}{2}$BC，
∴EF=DF，故①正確；
∵∠BEC=∠BDC=90°，
∴B、C、D、E四點(diǎn)共圓，
由割線定理可知AD•AC=AE•AB，故②正確；
∵B、C、D、E四點(diǎn)共圓，
∴∠OED=∠OBC，∠ODE=∠OCB，
∴△DOE∽△COB，故③正確；
若∠ABC=45°，則△BEC為等腰直角三角形，
∴BC=$\sqrt{2}$BE，
∵F為BC中點(diǎn)，
∴FC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BE，
∴BE=$\sqrt{2}$FC，故④正確；
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評 本題主要考查了直角三角形斜邊中線定理、四點(diǎn)共圓的判定與性質(zhì)、割線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，難度不大，屬于常規(guī)題型．解答的關(guān)鍵是明確題目所給條件（比如中點(diǎn)，垂直）與所學(xué)幾何定理的聯(lián)系．