Question

如圖，∠C=90°，點A、B在∠C的兩邊上，CA=30，CB=20，連接AB．點P從點B出發，以每秒4個單位長度的速度沿BC的方向運動，到點C停止．當點P與B、C兩點不重合時，作PD⊥BC交AB于點D，作DE⊥AC于點E．F為射線CB上一點，使得∠CEF=∠ABC．設點P運動的時間為x秒．
（1）用含有x的代數式表示CE的長．
（2）求點F與點B重合時x的值．
（3）當點F在線段CB上時，設四邊形DECP與四邊形DEFB重疊部分圖形的面積為y（平方單位）．求y與x之間的函數關系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）證出△DBP∽△ABC得到，即利用相似三角形的性質得到PD與x的關系；
（2）證出△CEF∽△CBA得到，利用相似三角形的性質得到CF與x的關系，又知CF=CB，據此求出x的值；
（3）由于圖①中重疊部分為梯形，根據梯形面積公式建立起y和x的函數關系式；由于圖②中重疊部分為三角形，根據三角形面積公式建立起y和x的函數關系式．
解答：解：（1）∵∠C=90°，PD⊥BC，
∴DP∥AC，
∴△DBP∽△ABC，四邊形PDEC為矩形，
∴，CE=PD．
∴．
∴CE=6x；

（2）∵∠CEF=∠ABC，∠C為公共角，
∴△CEF∽△CBA，
∴．
∴．
當點F與點B重合時，CF=CB，9x=20．
解得．

（3）當點F與點P重合時，BP+CF=CB，4x+9x=20，
解得．
當時，如圖①，

=-51x²+120x．
當＜x≤時，如圖②，

==（20-4x）²．
（或）．
點評：本題是一道代數幾何綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質，同時要熟悉梯形與三角形的面積公式．