Question

（2013•江陽區模擬）如圖，已知點A的坐標為（

3

，3），AB⊥x軸，垂足為B，連接OA，反比例函數y=

k

x

（k＞0）的圖象與線段OA、AB分別交于點C、D，若AB=3BD．
（1）求點C的坐標；
（2）以點C為圓心，CA的

5

4

倍的長為半徑作圓，試判斷該圓與x軸的位置關系．

Answer 1

分析：（1）先根據A（

3

，3），AB=3BD求出D點坐標，進而可得出反比例函數y=

k

x

的解析式，用待定系數法求出直線OA的解析式，求出直線與反比例函數的交點坐標即可；
（2）過C點做CE垂直于OB于點E，由A、C兩點的坐標求出AC的長，根據C點坐標得出OC的長，進而得出CA的長，再比較出

5

4

CA與CE長度的大小即可．

解答：解：（1）∵A（

3

，3），AB=3BD，
∴D（

3

，1），
∵點D在反比例函數y=

k

x

的圖象上，
∴k=

3

，
∴反比例函數的解析式為y=

3

x

，
設直線OA的解析式為y=kx（k≠0），則3=

3

k，解得k=

3

，
∴直線OA的解析式為y=

3

x，
∴

y= 3 x y= 3 x

，
解得

x=1 y= 3

或

x=-1 y=- 3

（舍去），
∴C（1，

3

）；

（2）過C點做CE垂直于OB于點E，
∵A（

3

，3），C（1，

3

），
∴AC=

( 3 -1)2+(3- 3 )2

=2

3

，
∵C（1，

3

），
∴OC=2，
∴CA=2

3

-2，
∴

5

4

CA=

5

2

（

3

-1），CE=

3

，
∵

5

2

（

3

-1）-

3

=

3 3

2

-

5

2

＞0，
∴該圓與x軸相交．

點評：本題考查的是反比例函數綜合題，涉及到用待定系數法求一次函數及反比例函數的解析式等知識，難度適中．