Question

平面直角坐標(biāo)系與線段和的最值問題：
（1）已知點(diǎn)M（3，2），N（1，-1），點(diǎn)P在y軸上，求使得△PMN的周長最小的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）等腰梯形ABCD放置在如圖所示的直角平面坐標(biāo)系中，已知CD∥AB，CD=3，AB=5，BC=

17

，直線AC交y軸于E，動(dòng)點(diǎn)P在線段EC上運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)N（2，6）的距離之和的最小值，并求出此時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）如圖所示，作出M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接NM′，與y軸相交于點(diǎn)P，則P點(diǎn)即為所求，
設(shè)過NM′兩點(diǎn)的直線解析式為y=kx+b（k≠0），
則

2=-3k+b -1=k+b

，解得k=-

3

4

，b=-

1

4

，
故此一次函數(shù)的解析式為y=-

3

4

x-

1

4

，
因?yàn)閎=-

1

4

，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-

1

4

）；

（2）作出點(diǎn)N關(guān)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)N′，CH⊥AB，過N′向y軸作垂線，交y軸于點(diǎn)Q，交直線AF于點(diǎn)P，則QN′即為點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)N的距離之和的最小值，
∵等腰梯形ABCD中，CD∥AB，CD=3，AB=5，BC=

17

，
∴OA=HB=1，
∴A（-1，0），B（4，0）
∴CH=

BC2-HB2

=

( 17 )2-12

=4，
∴D（0，4）、C（3，4），
設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

4=3k+b 0=-k+b

，解得k=1，b=1，
∴直線AE的解析式為y=x+1，
∴N′點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，3），
∴QN′=5；
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，3），代入直線y=x+1得，3=a+1，解得a=2，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）．