Question

【題目】如圖，點E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別為C、D．

求證：
（1）∠ECD=∠EDC；
（2）OC=OD；
（3）OE是線段CD的垂直平分線．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，

∴ED=EC，即△CDE為等腰三角形，

∴∠ECD=∠EDC

（2）

證明：∵點E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA，ED⊥OB，

∴∠DOE=∠COE，∠ODE=∠OCE=90°，OE=OE，

∴△OED≌△OEC（AAS），

∴OC=OD

（3）

證明：∵OC=OD，且DE=EC，

∴OE是線段CD的垂直平分線．

【解析】（1）根據角平分線性質可證ED=EC，從而可知△CDE為等腰三角形，可證∠ECD=∠EDC；（2）由OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，OE=OE，可證△OED≌△OEC，可得OC=OD；（3）根據ED=EC，OC=OD，可證OE是線段CD的垂直平分線．