Question

如圖，將等腰梯形ABCD放在平面直角坐標系中，使底AB在x軸上，頂點D在y軸上，且A（-3，0），D（0，4），C（4，4），再將梯形ABCD繞點D順時針方向旋轉90°，得到梯形A₁B₁C₁D₁．
（1）填空：點A₁的坐標是

 

，點B₁的坐標是

 

．
（2）如果將梯形A₁B₁C₁D₁向右平移x（x≤7）個單位，求得到的梯形與梯形ABCD重疊部分的面積S與x的函數關系式，并求S的最大值？
（3）探究：當（2）中的S取最大值時，是否存在經過點A且以平移后得到的梯形的中位線所在直線為對稱軸的拋物線l（設頂點為P），使△ABP與△CDP的面積之和等于梯形300＜x≤700的面積？若存在，求出拋物線l的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先畫出旋轉后的梯形A₁B₁C₁D₁，然后觀察點A₁和點B₁的位置即可得出兩點坐標；
（2）先分別討論當x取不同的取值范圍時，面積S關于x的函數關系式，然后求出當x=4時，面積S最大；
（3）先求出梯形的面積，然后根據已知條件分別討論當m的取值范圍不同時拋物線的解析式．

解答：解：（1）A₁（-4，7），B₁（-4，-3）；

（2）①當0≤x＜1時，S=4x+6，
②當1≤x＜4時，S=4x+6-

2

3

(x-1)2=-

2

3

x2+

16

3

x+

16

3

，
③當4≤x≤7時，S=4(8-x)+6-

2

3

(7-x)2=-

2

3

x2+

16

3

x+

16

3

，
∴S=

4x+6 - 2 3 x2+ 16 3 x+ 16 3 (1≤x≤7)

，
當0≤x＜1時，S=4x+6＜10，
當1≤x≤7時，S=-

2

3

(x-4)2+16≤16，
∴當x=4時，S有最大值16；

（3）由（2）得x=4時，S有最大值，故平移后得到的梯形中位線所在直線為x=2．
設P（2，m），又S_梯形ABCD=28，
則①當m＜0時，有S_△FAB+S_△PCD=28，
即

1

2

×10(-m)+

1

2

×4(4-m)=28，
解得m=-

20

7

，
此時l的解析式為：y=

4

35

x2-

16

35

x-

84

35

，
②當0＜m＜4時，有S_△PAB+S_△PCD=28，
即

1

2

•10m+

1

2

•4(4-m)=28，
解得：m=

20

3

＞4（不合題意，舍去）
③當m＞4時，有S_△PAB+S_△PCD=28，
即

1

2

•10m+

1

2

•4(m-4)=28，
解得m=

36

7

，
此時l的解析式為y=

36

175

x2+

144

175

x+

756

175

．

點評：本題是二次函數的綜合題，題中涉及平移、梯形的性質等知識點，解題時要注意數形結合和分類討論等數學思想的運用，是各地中考的熱點和難點，同學們要加強訓練，屬于中檔題．