Question

閱讀下面的材料：
小明在學(xué)習(xí)中遇到這樣一個(gè)問題：若1≤x≤m，求二次函數(shù)的最大值．他畫圖研究后發(fā)現(xiàn)，和時(shí)的函數(shù)值相等，于是他認(rèn)為需要對(duì)進(jìn)行分類討論．他的解答過程如下：

∵二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，
∴由對(duì)稱性可知，和時(shí)的函數(shù)值相等．
∴若1≤m＜5，則時(shí)，的最大值為2；
若m≥5，則時(shí)，的最大值為．
請(qǐng)你參考小明的思路，解答下列問題：
（1）當(dāng)≤x≤4時(shí)，二次函數(shù)的最大值為_______；
（2）若p≤x≤2，求二次函數(shù)的最大值；
（3）若t≤x≤t+2時(shí)，二次函數(shù)的最大值為31，則的值為_______．

Answer 1

解：（1）∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1，
∴當(dāng)-2≤x≤4時(shí)，二次函數(shù)y=2x²+4x+1的最大值為：2×4²+4×4+1=49；
（2）∵二次函數(shù)y=2x²+4x+1的對(duì)稱軸為直線x=-1，
∴由對(duì)稱性可知，當(dāng)x=-4和x=2時(shí)函數(shù)值相等，
∴若p≤-4，則當(dāng)x=p時(shí)，y的最大值為2p²+4p+1，
若-4＜p≤2，則當(dāng)x=2時(shí)，y的最大值為17；
（3）t＜-2時(shí)，最大值為：2t²+4t+1=31，
整理得，t²+2t-15=0，
解得t₁=3（舍去），t₂=-5，
t≥-2時(shí)，最大值為：2（t+2）²+4（t+2）+1=31，
整理得，（t+2）²+2（t+2）-15=0，
解得t₁=1，t₂=-7（舍去），
所以，t的值為1或-5．

解析試題分析：（1）先求出拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1，然后確定當(dāng)x=4時(shí)取得最大值，代入函數(shù)解
析式進(jìn)行計(jì)算即可得解；（2）先求出拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1，再根據(jù)對(duì)稱性可得x=-4和x=2
時(shí)函數(shù)值相等，然后分p≤-4，-4＜p≤2討論求解；（3）根據(jù)（2）的思路分t＜-2，t≥-2時(shí)兩
種情況討論求解．
考點(diǎn)：二次函數(shù)的最值
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的最值問題，主要利用了二次函數(shù)的對(duì)稱性，確定出拋物線的對(duì)稱軸解析式是確定p和t的取值范圍的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于讀懂題目信息．