Question

【題目】兩個已知圖形G1、G2，在G1上任取一點P，在G2上任取一點Q，當線段PQ的長度最小時，我們稱這個最小長度為G1、G2的“密距”．例如，如圖，A(﹣2，3)，B(1，3)，C(1，0)，則點A與射線OC之間的“密距”為，點B與射線OC之間的“密距”為3．如果直線y＝x﹣1和雙曲線y＝之間的“密距”為，則k值為_____．

Answer 1

【答案】-9

【解析】

由題意設雙曲線上的D到直線的距離最近，過D作直線l和直線y＝x﹣1的平行線，結合條件可求得l的解析式，聯立l與雙曲線解析式，則該方程組只有一組解，可求得k的值．

根據“密距”的定義可知雙曲線圖象在二、四象限，且離第四象限最近，

設雙曲線上點D到直線y＝x﹣1距離最近，如圖，設直線y＝x﹣1與y軸交于點E，過D作直線y＝x﹣1的平行線，交y軸于點G，過D作直線y＝x﹣1的垂線，垂足為E，過E作EH⊥DG，垂足為H，

則由題意可知DF＝EH＝，

又∠OEF＝45°，

∴∠EGH＝45°，

∴EH＝HG＝，

∴EG＝＝5，

又OE＝1，

∴OG＝6，

∴直線DG的解析式為y＝x﹣6，

聯立直線DG和雙曲線解析式可得，消去y整理可得x2﹣6x﹣k＝0，

∵直線DG與雙曲線只有一個交點，

∴方程x2﹣6x﹣k＝0有兩個相等的實數根，

∴△＝0，即(﹣6)2+4k＝0，解得k＝﹣9，

故答案為：﹣9．