Question

【題目】下面是小星同學設計的“過直線外一點作已知直線的平行線”的尺規作圖過程:

已知:如圖,直線 l 和直線 l 外一點 A

求作:直線 AP,使得 AP∥l

作法:如圖

① 在直線 l 上任取一點 B，以點 A 為圓心，AB 為半徑作圓，與直線 l 交于 B，C 兩點.

② 連接 AC,AB,延長 BA 交⊙A 于點 D;

③ 作∠DAC 的平分線 AP，并反向延長.

所以直線 AP 就是所求作的直線

根據小星同學設計的尺規作圖過程,

（1）使用直尺和圓規,補全圖形(保留作圖痕跡)

（2）完成下面的證明

證明:∵AB=AC,

∴∠ABC=∠ACB( ① )(填推理的依據)

∵∠DAC 是△ABC 的外角,

∴∠DAC=∠ABC+∠ACB

∴∠DAC=2∠ABC

∵AP 平分∠DAC,

∴∠DAC=2∠DAP

∴ ②

∴AP∥l( ③ )(填推理的依據)

Answer 1

【答案】（1）如圖 見解析，（2）①等邊對等角 ，②∠ABC=∠DAP ，③同位角相等，兩直線平行.

【解析】

（1）根據角平分線的尺規作圖即可得；
（2）分別根據等腰三角形的性質、三角形外角的性質和平行線的判定求解可得．

解：（1）如圖所示，直線AP即為所求．

（2）證明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB（等邊對等角），
∵∠DAC是△ABC的外角，
∴∠DAC=∠ABC+∠ACB（三角形外角性質），
∴∠DAC=2∠ABC，
∵AP平分∠DAC，
∴∠DAC=2∠DAP，
∴∠DAP=∠ABC，
∴AP∥l（同位角相等，兩直線平行），
故答案為：①等邊對等角 ，②∠DAP =∠ABC ，③同位角相等，兩直線平行．