Question

已知2¹=2，2²=4，2³=8，…．
（1）你能據此推測2⁶⁴的個位數字是多少嗎？
（2）根據上面的結論，結合計算，請估計一下（2+1）（2²+1）（2⁴+1）…（2³²+1）的個位數字是多少？

Answer 1

分析：（1）根據2的指數次冪的特點，個位數字每4個數字為一個循環組依次循環，用64除以4，根據正好能夠整除可知2⁶⁴的個位數字與2⁴的個位數字相同；
（2）把算式前面添加（2-1），然后利用平方差公式進行計算可得2⁶⁴-1，再根據（1）的結果計算即可得解．

解答：解：（1）∵2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，…
∴2的指數次冪的個位數字每4個數字為一個循環組依次循環，
∵64÷4=16，
∴2⁶⁴的個位數字與2⁴的個位數字相同，為6；

（2）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）…（2³²+1），
=（2-1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）…（2³²+1），
=（2²-1）（2²+1）（2⁴+1）…（2³²+1），
=（2⁴-1）（2⁴+1）…（2³²+1），
=（2⁸-1）（2⁸+1）…（2³²+1），
=2⁶⁴-1，
∵2⁶⁴的個位數字是6，
∴2⁶⁴-1的個位數字5．

點評：本題考查了尾數的特征，主要利用了2的指數次冪的特征，觀察出個位數字每4個數字為一個循環組依次循環是解題的關鍵，也是本題的難點．