Question

【題目】我們規定：形如為常數，的函數叫做“奇特函數”.當 時，“奇特函數” 就是反比例函數 .

（1） 若矩形的兩邊長分別是2和3，當這兩邊長分別增加x和y后，得到的新矩形的面積為8 ，求y與x之間的函數關系式，并判斷這個函數是否為“奇特函數”；

（2） 如圖，點O為坐標原點，矩形OABC的頂點A，C的坐標分別為（9，0）、（0，3）．點D是OA的中點，連結OB，CD交于點E，“奇特函數” 的圖象經過B，E兩點.

① 求這個“奇特函數”的解析式；

② 把反比例函數 的圖象向右平移6個單位，再向上平移 個單位可得到①中所得“奇特函數”的圖象.過線段BE中點M的一條直線l與這個“奇特函數”的圖象交于P，Q兩點（P在Q的右側），若以B、E、P、Q為頂點組成的四邊形面積為16，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=，是“奇特函數”；（2）①y=；②向右平移6個單位，再向上平移 2個單位；②P1（1，3），P2(15，)，P3（7，5）．

【解析】

（1）根據矩形的面積公式，可得函數解析式，根據分式的加減，可得答案；

（2）①根據圖象的交點，可得E點坐標，根據待定系數法，可得奇特函數解析式；

②根據圖象右移減，上移加，可得答案，根據P、Q在奇特函數圖象上，在直線上，再根據四邊形的面積為16，可得P點坐標．

（1）由題意得：（2+x）（3+y）=8，

∵x+2≠0，

∴3+y=，

∴y=-3=，

根據新定義判斷得到y=是“奇特函數”；

（2）①由題意得：B（9，3），

得到直線OB解析式為y=x，直線CD解析式為y=-x+3，

聯立得：，解得：，即E（3，1），

將B（9，3），E（3，1）代入函數y=得： ，

整理得：，

解得：，

則“奇特函數”的解析式為y=；

②把反比例函數y＝的圖象向右平移6個單位，再向上平移 2個單位就可得到①中所得“奇特函數”的圖象，

如圖，當點P在點B左側時，設線段BE的中點為F，由反比例函數中心對稱性，四邊形PEQB為平行四邊形．

∵四邊形PEQB的面積為16，∴S△PFE=4，

∵B（9，3），F（6，2）．

y=是y=的“奇特函數”，

∴S△PFE=S△P1OE=4，點E的坐標是：（3，1）

過E作x軸的垂線，與BC、x軸分別交于M、N點．

S△OP1E=S四邊形ONMC-S△OCP1-S△MP1E-S△ONE．

設P1（x0，y0），

∴

即

∴

∴P1（1，3），

∴點P的坐標為（7，5）．

當點P在點B右側時，同理可得點P的坐標為（15，）．

∴P1 （1，3），P2(15，)，P3 （7，5）．