Question

【題目】如圖：四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為各邊的中點，順次連接E、F、G、H，把四邊形EFGH稱為中點四邊形．連接AC、BD，容易證明：中點四邊形EFGH一定是平行四邊形．

（1）如果改變原四邊形ABCD的形狀，那么中點四邊形的形狀也隨之改變，通過探索可以發現：當四邊形ABCD的對角線滿足AC＝BD時，四邊形EFGH為菱形．當四邊形ABCD的對角線滿足　 　時，四邊形EFGH為矩形；當四邊形ABCD的對角線滿足　 　時，四邊形EFGH為正方形；

（2）探索三角形AEH、三角形CFG與四邊形ABCD的面積之間的等量關系，請寫出你發現的結論，并加以證明；

（3）如果四邊形ABCD的面積為2，那么中點四邊形EFGH的面積是多少？

Answer 1

【答案】（1）AC⊥BD，AC⊥BD且 AC＝BD；（2）S△AEH+S△CFG＝S四邊形ABCD，見解析；（3）1

【解析】

（1）若四邊形EFGH為矩形，則應有EF∥HG∥AC，EH∥FG∥BD，EF⊥EH，故應有AC⊥BD；若四邊形EFGH為正方形，同上應有AC⊥BD，又應有EH=EF，而EF=AC，EH=BD，故應有AC=BD．
（2）由相似三角形的面積比等于相似比的平方求解．（3）由（2）可得SEFGH=S四邊形ABCD=1

解：（1）若四邊形EFGH為矩形，則應有EF∥HG∥AC，EH∥FG∥BD，EF⊥EH，故應有AC⊥BD；

若四邊形EFGH為正方形，同上應有AC⊥BD，又應有EH＝EF，而EF＝AC，EH＝BD，故應有AC＝BD．

（2）S△AEH+S△CFG＝S四邊形ABCD．

證明：在△ABD中，

∵EH＝BD，

∴△AEH∽△ABD．

∴．

即S△AEH＝S△ABD

同理可證：S△CFG＝S△CBD

∴S△AEH+S△CFG＝（S△ABD+S△CBD）＝S四邊形ABCD．

（3）由（2）可知S△AEH+S△CFG＝（S△ABD+S△CBD）＝S四邊形ABCD，

同理可得S△BEF+S△DHG＝（S△ABC+S△CDA）＝S四邊形ABCD，

故SEFGH＝S四邊形ABCD＝1．