Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點E是AB上一動點（不與點A，B重合），點F在AD上，過點E作EG⊥EF交BC于點G，連接FG．

（1）當BE=AF時，求證：EF=EG
（2）若AB=4，AF=1，且設AE=n，
①當FG∥AB時，求n的值；

Answer 1

【答案】
（1）

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠A=∠B=90°，

∵EG⊥EF，

∴∠AEF+∠BEG=90°，

∵∠AFE+∠AEF=90°，

∴∠AFE=∠BEG，

在△AEF和△BGE中，

，

∴△AEF≌△BGE（ASA），

∴EF=EG；

（2）

∵FG∥AB，

∴BG=AF=1，

∵AB=4，AE=n，

∴BE=4﹣n，

由（1）可得∠A=∠B=90°，∠AFE=∠BEG，

∴△AEF∽△BGE，

∴ = ，即 = ，

∴解得n1=2﹣ ，n2=2+ ；

②當BG取最大值時，求△EFG的面積．

∵△AEF∽△BGE，

∴ = ，

∴BG= =n（4﹣n）=﹣n2+4n=﹣（n﹣2）2+4，

∴當n=2時，BG有最大值4，

此時點G與點C重合，

∴EF= = = ，

EG= = =2 ，

∴△EFG的面積= EG×EF= × ×2 =5．

【解析】（1）根據正方形的性質，判定△AEF≌△BGE，即可得出EF=EG；（2）①根據∠A=∠B=90°，∠AFE=∠BEG，即可判定△AEF∽△BGE，進而得到 = ，即 = ，據此可得n的值；②根據△AEF∽△BGE，得出 = ，即BG= =n（4﹣n）=﹣n2+4n=﹣（n﹣2）2+4，進而得到當n=2時，BG有最大值4，據此可得點G與點C重合，再根據勾股定理求得EF= = ，EG= =2 ，最后根據△EFG的面積= EG×EF進行計算即可．
【考點精析】本題主要考查了全等三角形的性質和相似三角形的性質的相關知識點，需要掌握全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等；對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形才能正確解答此題．