Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2﹣2ax+c的圖象經過點C（0，﹣2），頂點D的坐標為（1，﹣），與x軸交于A、B兩點．

（1）求拋物線的解析式．

（2）連接AC，E為直線AC上一點，當△AOC∽△AEB時，求點E的坐標和的值．

（3）點C關于x軸的對稱點為H，當FC+BF取最小值時，在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△QHF是直角三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）E（﹣，﹣）；；

（3）（1，）或（1，）或Q（1，2）或Q（1，﹣）．

【解析】

（1）將點C、D的坐標代入拋物線表達式，即可求解；

（2）當△AOC∽△AEB時，求出yE=-，由△AOC∽△AEB得：即可求解；

（3）如圖2，連接BF，過點F作FG⊥AC于G，當折線段BFG與BE重合時，CF+BF取得最小值，①當點Q為直角頂點時，由Rt△QHM∽Rt△FQM得：QM2=HMFM；②當點H為直角頂點時，點H（0，2），則點Q（1，2）；③當點F為直角頂點時，同理可得：點Q（1，-）．

（1）由題可列方程組：，解得：

∴拋物線解析式為：y＝x2﹣x﹣2；

（2）由題意和勾股定理得，∠AOC＝90°，AC＝，AB＝4，

設直線AC的解析式為：y＝kx+b，則，

解得：，

∴直線AC的解析式為：y＝﹣2x﹣2；

當△AOC∽△AEB時＝（）2＝（）2＝，

∵S△AOC＝1，

∴S△AEB＝，

∴AB×|yE|＝，AB＝4，則yE＝﹣，

則點E（﹣，﹣）；

由△AOC∽△AEB得：

∴；

（3）如圖2，連接BF，過點F作FG⊥AC于G，

則FG＝CFsin∠FCG＝CF，

∴CF+BF＝GF+BF≥BE，

當折線段BFG與BE重合時，取得最小值，

由（2）可知∠ABE＝∠ACO

|y|＝OBtan∠ABE＝OBtan∠ACO＝3×＝，

∴當y＝﹣時，即點F（0，﹣），CF+BF有最小值；

①當點Q為直角頂點時（如圖3） F（0，﹣），

∵C（0，﹣2）

∴H（0，2）設Q（1，m），過點Q作QM⊥y軸于點M．

則Rt△QHM∽Rt△FQM∴QM2＝HMFM，

∴12＝（2﹣m）（m+），

解得：m＝，則點Q（1，）或（1，）

當點H為直角頂點時：點H（0，2），則點Q（1，2）；當點F為直角頂點時：

同理可得：點Q（1，﹣）；

綜上，點Q的坐標為：（1，）或（1，）或Q（1，2）或Q（1，﹣）．