Question

【題目】△ABC為等腰直角三角形，AB=AC，△ADE為等腰直角三角形，AD=AE，點D在直線BC上，連接CE．

（1）判斷：①CE、CD、BC之間的數量關系；②CE與BC所在直線之間的位置關系，并說明理由；

（2）若D在CB延長線上，（1）中的結論是否成立？若成立，請直接寫出結論，若不成立，請說明理由；

（3）若D在BC延長線上，（1）中的結論是否成立？若成立，請直接寫出結論，若不成立，請寫出你發現的結論，并計算：當CE=10cm，CD=2cm時，BC的長．

Answer 1

【答案】（1）①BC=CE+CD；②BC⊥CE，理由見解析；（2）CE⊥BC成立；BC=CD+CE不成立，結論：CD=CE+BC，理由見解析；（3）CE⊥BC成立；BC=CD+CE不成立，結論：CE=BC+CD， BC=8cm．

【解析】

（1）證明△DAB≌△EAC，即可得到BD=CE，∠B=∠ACE=45°，所以就有BC=BD+CD=CE+CD；又因∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，∠ABC=∠BCA=45°，得到BC⊥CF

（2）同樣先證明出△DAB≌△EAC，得到BD=CE，∠ABD=∠ACE，有CD=BD+BC =CE+BC；又因∠ABD=∠ACE=180°-∠ABC=180°-45°=135°，得到∠BCE=∠ACE-∠ACB=135°-450=90°，即BC⊥CE；

（3）同樣先證△DAB≌△EAC，得到BD=CE，∠ABD=∠ACE，有CE=BD=BC+CD，

又因CE=BC+CD，所以BC=CE-CD=10-2=8（cm）．

（1）①BC=CE+CD；②BC⊥CE，

理由如下：∵△ABC和△ADE是等腰三角形，AB=ACAD=AE，

∵∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠BCA=45°，

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，

∴∠BAD=∠CAE，

在△DAB與△EAC中，

，

∴△DAB≌△EAC（SAS），

∴BD=CE，∠B=∠ACE=45°，

∵BC=BD+CD，

∴BC=CE+CD，

∵∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，∠ABC=∠BCA=45°，

∴BC⊥CF；

（2）CE⊥BC成立；BC=CD+CE不成立，結論：CD=CE+BC，

理由如下：∵△ABC和△ADE是等腰三角形，AB=ACAD=AE，

∵∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠BCA=45°，

∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，

∴∠BAD=∠CAE，

在△DAB與△EAC中，

，

∴△DAB≌△EAC（SAS），

∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，

∵DC=BD+BC，

∴CD=CE+BC，

∵∠ABD=∠ACE=180°-∠ABC=180°-45°=135°，

∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=135°-450=90°，

∴BC⊥CE；

（3）CE⊥BC成立；BC=CD+CE不成立，結論：CE=BC+CD，

同（1）可以得到△DAB≌△EAC，

∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，

∴CE=BD=BC+CD，

∵CE=BC+CD，

∴BC=CE-CD=10-2=8（cm）．