Question

在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的動點（不與A、B重合），過M作MN//BC交AC于點N，以MN為直徑作⊙O，設AM=x

（1）用含x的代數式表示△AMN的面積S；
（2）M在AB上運動，當⊙O與BC相切時（如圖①），求x的值；
（3）M在AB上運動，當⊙O與BC相交時（如圖②），在⊙O上取一點P，使PM//AC，連接PN，PM交BC于E，PN交BC于點F，設梯形MNFE的面積為y，求y關于x的函數關系式。

Answer 1

（1）（2）（3）

試題分析：27、解：（1）∵MN//BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C
∴△AMN∽△ABC
∴，即，∴
∵AM⊥AN，∴   
（2）設BC與⊙O相切于點D，連接AO、OD，

則AO=OD=MN
在Rt△ABC中，
又∵△AMN∽△ABC，
∴，即，∴，∴  
過M作MQ⊥BC于Q，則
則△BMQ∽△ABC，
∴，∴
∵
∴                                   
（3）

∵∠A=90°，PM//AC，∠MPN=90°
∴四邊形AMPN是矩形
∴PN=AM=x
又∵四邊形BFNM是平行四邊形，
∴FN=BM=8-x，PF=PN-FN=x-(4-x)=2x-4
又Rt△PEF∽Rt△ABC，∴，  
∴
∵
∴
點評：本題難度較大，主要考查學生結合四邊形性質和相似三角形性質等知識點解決動點問題的綜合能力，為中考常考題型，要求學生多做訓練，掌握這類題型解題技巧。確定動點在一定范圍內的函數關系式為解題關鍵。