Question

閱讀：定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，如圖，Rt△ABC中，D為AB中點，則CD=AD=BD=

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AB．（此定理在解決下面的問題中要用到）
應用：如圖1，在△ABC中，點P為BC邊中點，直線a繞頂點A旋轉，若B、P在直線a的異側，BM⊥直線a于點M，CN⊥直線a于點N，連接PM、PN；
（1）延長MP交CN于點E（如圖2）．①求證：△BPM≌△CPE；②求證：PM=PN；
（2）若直線a繞點A旋轉到圖3的位置時，點B、P在直線a的同側，其它條件不變，此時PM=PN還成立嗎？若成立，請給予證明：若不成立，請說明理由；
（3）若直線a繞點A旋轉到與BC邊平行的位置時，其它條件不變，請直接判斷四邊形MBCN的形狀及此時PM=PN還成立嗎？不必說明理由．

Answer 1

（1）①證明：∵BM⊥直線a，CN⊥直線a，
∴∠BMN=∠CNM=90°，
∴BM∥CN，
∴∠MBP=∠PCE，
∵點P為BC邊中點，
∴BP=PC，
在△BPM和△CPE中，

∠MBP=∠PCE BP=PC ∠BPM=∠CPE

，
∴△BPM≌△CPE（ASA）；
②∵△BPM≌△CPE，
∴MP=PE，
∵∠MNE=90°，
∴PN=PM；

（2）PM=PN還成立．
理由如下：如圖3，延長MP與NC延長線交于F，


∵BM⊥直線a，CN⊥直線a，
∴BM∥FN，
∴∠BMP=∠PFC，
∵點P為BC邊中點，
∴BP=PC，
在△BMP和△CFP中，

∠BMP=∠PFC BP=PC ∠BPM=∠CPF

，
∴△BMP≌△CFP（ASA），
∴PM=PF，
∵∠MNF=90°，
∴PM=PN；

（3）四邊形MBCN是矩形，PM=PN還成立．
理由如下：如圖4，∵a∥BC，BM⊥a，CN⊥a，
∴BM∥CN，BM=CN，
∴四邊形MBCN是矩形，
∵點P是BC的中點，
∴BP=CP，
在△BMP和△CMN中，

BM=CN ∠PBM=∠PCN=90° BP=CP

，
∴△BMP≌△CPN（SAS），
∴PM=PN．