Question

如圖，點B在線段AC上，點D，E在AC同側，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．
（1）求證：AC=AD+CE；
（2）若AD=3，CE=5，點P為線段AB上的動點，連接DP，作PQ⊥DP，交直線BE于點Q；
（i）當點P與A，B兩點不重合時，求的值；
（ii）當點P從A點運動到AC的中點時，求線段DQ的中點所經過的路徑（線段）長．（直接寫出結果，不必寫出解答過程）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據同角的余角相等求出∠1=∠E，再利用“角角邊”證明△ABD和△CEB全等，根據全等三角形對應邊相等可得AB=CE，然后根據AC=AB+BC整理即可得證；
（2）（i）過點Q作QF⊥BC于F，根據△BFQ和△BCE相似可得=，然后求出QF=BF，再根據△ADP和△FPQ相似可得=，然后整理得到（AP-BF）（5-AP）=0，從而求出AP=BF，最后利用相似三角形對應邊成比例可得=，從而得解；
（ii）判斷出DQ的中點的路徑為△BDQ的中位線MN．求出QF、BF的長度，利用勾股定理求出BQ的長度，再根據中位線性質求出MN的長度，即所求之路徑長．
解答：（1）證明：∵BD⊥BE，
∴∠1+∠2=180°-90°=90°，
∵∠C=90°，
∴∠2+∠E=180°-90°=90°，
∴∠1=∠E，
∵在△ABD和△CEB中，
，
∴△ABD≌△CEB（AAS），
∴AB=CE，
∴AC=AB+BC=AD+CE；

（2）（i）如圖，過點Q作QF⊥BC于F，

則△BFQ∽△BCE，
∴=，
即=，
∴QF=BF，
∵DP⊥PQ，
∴∠ADP+∠FPQ=180°-90°=90°，
∵∠FPQ+∠PQF=180°-90°=90°，
∴∠ADP=∠FPQ，
又∵∠A=∠PFQ=90°，
∴△ADP∽△FPQ，
∴=，
即=，
∴5AP-AP²+AP•BF=3•BF，
整理得，（AP-BF）（AP-5）=0，
∵點P與A，B兩點不重合，
∴AP≠5，
∴AP=BF，
由△ADP∽△FPQ得，=，
∴=；

（ii）線段DQ的中點所經過的路徑（線段）就是△BDQ的中位線MN．

由（2）（i）可知，QF=AP．
當點P運動至AC中點時，AP=4，∴QF=．
∴BF=QF×=4．
在Rt△BFQ中，根據勾股定理得：BQ===．
∴MN=BQ=．
∴線段DQ的中點所經過的路徑（線段）長為．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，（1）求出三角形全等的條件∠1=∠E是解題的關鍵，（2）（i）根據兩次三角形相似求出AP=BF是解題的關鍵，（ii）判斷出路徑為三角形的中位線是解題的關鍵．