Question

如圖，點B在線段AC上，點D，E在AC同側，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．

（1）求證：AC=AD+CE；

（2）若AD=3，CE=5，點P為線段AB上的動點，連接DP，作PQ⊥DP，交直線BE于點Q；

（i）當點P與A，B兩點不重合時，求的值；

（ii）當點P從A點運動到AC的中點時，求線段DQ的中點所經過的路徑（線段）長．（直接寫出結果，不必寫出解答過程）

 

Answer 1

【答案】

解：（1）證明：如圖，∵BD⊥BE，∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°。

∵∠C=90°，∴∠2+∠E=180°﹣90°=90°�！唷�1=∠E。

∵在△ABD和△CEB中，∠1=∠E，∠A=∠C=90°，AD=BC，

∴△ABD≌△CEB（AAS）�！郃B=CE。

∴AC=AB+BC=AD+CE。

（2）（i）如圖，連接DQ，

∵∠DPQ=∠DBQ=90°,

∴D、P、B、Q四點在以DQ為直徑的圓上。

∴∠DQP=∠DBP。

∴Rt△DPQ∽Rt△DAB�！�。

∵DA=3，AB=EC=5，∴。

（ii）線段DQ的中點所經過的路徑（線段）長為。

【解析】（1）根據同角的余角相等求出∠1=∠E，再利用“角角邊”證明△ABD和△CEB全等，根據全等三角形對應邊相等可得AB=CE，然后根據AC=AB+BC整理即可得證。

（2）（i）如圖，連接DQ，由∠DPQ=∠DBQ=90°得到D、P、B、Q四點在以DQ為直徑的圓上，從而可得Rt△DPQ∽Rt△DAB，因此。

（ii）線段DQ的中點所經過的路徑（線段）就是△BDQ的中位線MN。

當點P運動至AC中點時，AP=4，

∴在Rt△ADP中，根據勾股定理得：DP=5。

由得。

∴在Rt△DPQ中，根據勾股定理得：。

又在Rt△ADP中，根據勾股定理得：。

∵MN是△BDQ的中位線，

∴。

∴在Rt△DMN中，根據勾股定理得：。

∴線段DQ的中點所經過的路徑（線段）長為。