Question

（2012•啟東市模擬）如圖：已知，四邊形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB=，點O為BC邊上的一個動點，連接OD，以O為圓心，BO為半徑的⊙O分別交邊AB于點P，交線段OD于點M，交射線BC于點N，連接MN．
（1）當BO=AD時，求BP的長；
（2）點O運動的過程中，是否存在BP=MN的情況？若存在，請求出當BO為多長時BP=MN；若不存在，請說明由；
（3）在點O運動的過程中，以點C為圓心，CN為半徑作⊙C，請直接寫出當⊙C存在時，⊙O與⊙C的位置關系，以及相應的⊙C半徑CN的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點A作AE⊥BC，在⊙O中，過點O作OH⊥AB，則四邊形ADCE是矩形，可由余弦的概念，求得AE，則有AD=CE=BC-BE，而得到BO=AD的值，由垂徑定理知，PH=BH，由BH：OB=cosB，求得BH，即有PB=2BH；
（2）用反證法，證明不存在BP=MN；
（3）由題意知，當點N在BC上時，⊙C與⊙O外切，有＜CN＜6=BC，當點N在BC的延長線上時，⊙C與⊙O內切，由于點這在AB上，BP的最大值為5，則可利用余弦的概念，求得圓O的直徑為，故0＜CN≤-6=．
解答：解：（1）過點A作AE⊥BC
在Rt△ABE中，由AB=5，cosB=，得BE=3
∵CD⊥BC，AD∥BC，BC=6
∴AD=EC=BC-BE=3
當BO=AD=3時，在⊙O中，過點O作OH⊥AB，則BH=HP，
∵
∴BH=
∴BP=

（2）不存在BP=MN的情況．
假設BP=MN成立，
因為BP和MN為⊙O的弦，則必有∠BOP=∠DOC，
過P作PQ⊥BC，過點O作OH⊥AB，
∵CD⊥BC，則有△PQO∽△DCO
設BO=x，則PO=x，OC=6-x，
由，得BH=，
∴BP=2BH=
∴BQ=BP×cosB=，PQ=
∴OQ=
∵△PQO∽△DCO
∴，即
得
當時，BP==＞5，與點P應在邊AB上不符，
∴不存在BP=MN的情況．

（3）情況一：⊙O與⊙C相外切，此時0＜CN＜6；
情況二：⊙O與⊙C相內切，此時0＜CN≤．
點評：本題利用了余弦的概念、矩形的性質、垂徑定理、直角三角形的性質、相似三角形的判定和性質、圓與圓的位置關系求解．