Question

（2012•啟東市模擬）如圖的平面直角坐標系中，拋物線交x軸于A、B兩點（點B在點A的右側），交y軸于點C，以OC、OB為兩邊作矩形OBDC，CD交拋物線于G．
（1）求OC和OB的長；
（2）拋物線的對稱軸l在邊OB（不包括O、B兩點）上作平行移動，交x軸于點E，交CD于點F，交BC于點M，交拋物線于點P．設OE=m，PM=h，求h與m的函數關系式，并求出PM的最大值；
（3）連接PC，則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點P，使得以P、C、F為頂點的三角形和△BEM相似？若存在，直接求出此時m的值，并直接判斷△PCM的形狀；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線的解析式，易求得B、C的坐標，即可得到OB、OC的長；
（2）若OE=m，即P、M的橫坐標為m，可根據B、C的坐標，用待定系數法求出直線BC的解析式，進而根據拋物線和直線BC的解析式表示出P、M的縱坐標，即可得到PM的長，即h的表達式，由此可求出h、m的函數關系式，根據函數的性質及自變量的取值范圍即可求出PM的最大值；
（3）由于∠PFC和∠BEM都是直角，對應相等，若所求的兩個三角形相似，存在兩種情況：
①△PFC∽△BEM，②△CFP∽△BEM；
可分別用m表示出BE、EM、CF、PF的長，根據上述兩類相似三角形所得的不同比例線段即可求出m的值．
解答：解：（1）對于，
當x=0時，y=4；
當y=0時，，
解得x₁=-1，x₂=3；（2分）
∴點B的坐標為（3，0），點C的坐標為（0，4）；
∴OC=4，OB=3；（3分）

（2）∵拋物線的對稱軸l⊥x軸，在邊PE∥l，
∴PE⊥x軸；
∵OE=m，
∴點P的橫坐標為m；
∵點P在拋物線上，
∴點P的縱坐標為；
∴PE=；（4分）
在Rt△BOC中，tan∠OBC=；
在Rt△BME中，
ME=BEtan∠OBC=（OB-OE）•tan∠OBC=（3-m）=4-m；（5分）
∴PM=PE-ME=-4+m=；
∴h與m的函數關系式為h=（0＜m＜3）（6分）
又h=，
∵-＜0，
∴當m=時，h有最大值為3，
∴PM的最大值為3；（8分）

（3）①當m=時，△PFC∽△BEM，此時△PCM為直角三角形（∠PCM為直角）；（10分）
②當m=1時，△CFP∽△BEM，此時△PCM為等腰三角形（PC=CM）．（12分）
點評：此題考查了二次函數與坐標軸交點坐標的求法、二次函數的應用以及相似三角形的判定和性質；要注意的是當相似三角形的對應邊和對應角不明確時，要分類討論，以免漏解．