Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC邊上的中線，點D，E分別在邊AC和BC上，DB＝DE，DE與BM相交于點N，EF⊥AC于點F，以下結論：

①∠DBM＝∠CDE；②S△BDE<S四邊形BMFE；③CD·EN＝BN·BD；④AC＝2DF.

其中正確結論的個數是(　　)

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】試題分析：由AB=BC，∠ABC=90°，BM是AC邊中線可知△ABC、△ABM、△CBM都是等腰直角三角形，因為DB=DE，所以對應兩個底角相等．（1）∵∠DEB=∠EDC+∠C=∠EDC+45°（三角形外角性質），∴∠EDC=∠DEB-45°，因為∠DBE=∠DBM+∠MBE=∠DBM+45°，所以∠DBM=∠DBE-45°，而∠DBE=∠DEB，∴∠DBM=∠CDE，故（1）正確．（2）先證明△BDM≌△DEF，∵∠DBM=∠EDF（已證），∠DMB=∠EFD=90°，DB=DE，∴Rt△BDM≌Rt△DEF．∴S△BDM=S△DEF．∴S△BDM﹣S△DMN=S△DEF﹣S△DMN，即S△DBN=S四邊形MNEF．∴S△DBN+S△BNE=S四邊形MNEF+S△BNE，即S△BDE=S四邊形BMFE，故（2）錯誤；（3）由所給CDEN=BNBD，化成比例式：CD:BD=BN:EN,所以只要能證明△DBC∽△NEB即可．∵∠BNE=∠DBM+∠BDN（三角形外角性質），∠BDM=∠BDE+∠EDF，∠EDF=∠DBM，∴∠BNE=∠BDM．即∠BNE=∠BDC，又∵∠C=∠NBE=45°，∴△DBC∽△NEB．∴對應線段成比例CD:BD=BN:EN，化成乘積式即得CDEN=BNBD，故（3）正確；（4）把所給線段進行轉換：∵Rt△BDM≌Rt△DEF，∴BM=DF，∵BM是等腰直角三角形ABC斜邊AC中線，∴BM=AC，∴DF=AC，∴AC=2DF．故（4）正確．綜上所述，選項中有三個正確，故選C．