Question

【題目】【問題探究】
已知：如圖①所示，∠MPN的頂點為P，⊙O的圓心O從頂點P出發，沿著PN方向平移．

（1）如圖②所示，當⊙O分別與射線PM，PN相交于A、B、C、D四個點，連接AC、BD，可以證得△PAC∽△ ， 從而可以得到：PAP B=P CP D．
（2）如圖③所示，當⊙O與射線PM相切于點A，與射線PN相交于C、D兩個點．求證：PA2=PCPD．

（3）【簡單應用】
如圖④所示，（2）中條件不變，經過點P的另一條射線與⊙O相交于E、F兩點．利用上述（1），（2）兩問的結論，直接寫出線段PA與PE、PF之間的數量關系；當PA=4 ，EF=2，則PE= ．

（4）【拓展延伸】如圖⑤所示，在以O為圓心的兩個同心圓中，A、B是大⊙O上的任意兩點，經過A、B 兩點作線段，分別交小⊙O于C、E、D、F四個點．求證：ACAE=BDBF．（友情提醒：可直接運用本題上面所得到的相關結論）

Answer 1

【答案】
（1）△PDB
（2）證明：連接AC、AD，如圖③所示：

∵⊙O與射線PM相切于點A，與射線PN相交于C、D兩個點，

∴∠PAC=∠PDA，

又∵∠P=∠P，

∴△PAC∽△PDA，

∴PA：PD=PC：PA，

∴PA2=PCPD

（3）PA2=PE?PF,6
（4）證明：過A作⊙O的切線AM，M為切點，過B作⊙O的切線BN，N為切點，連接OA、OM、OB、ON，則AM⊥OM，BN⊥ON，如圖⑤所示：

由（3）得：AM2=ACAE，BN2=BDBF．

在Rt△AOM中，AM2=OA2﹣OM2，

在Rt△BON中，BN2=OB2﹣ON2，

又∵OM=ON，OA=OB，

∴AM2=BN2，

∴ACAE=BDBF．

【解析】（1）解：由圓內接四邊形的性質得：∠PAC=∠PDB，

又∵∠P=∠P，

∴△PAC∽△PDB，

∴PA：PD=PC：PB，

∴PAP B=P CP D．

所以答案是：△PDB；（3）解：由（2）得：PA2=PEPF．

∵PA=4 ，EF=2，

∴PEPF=（4 ）2=48，

即PE（PE+2）=48，

解得：PE=6，或PE=﹣8（舍去），

∴PE=6，

所以答案是：PA2=PEPF，6；