Question

在平面直角坐標系內有兩點A（-2，0），B（，0），CB所在直線為y=2x+b，
（1）求b與C的坐標；
（2）連接AC，求證：△AOC∽△COB；
（3）求過A，B，C三點且對稱軸平行于y軸的拋物線解析式；
（4）在拋物線上是否存在一點P（不與C重合），使得S_△ABP=S_△ABC？若存在，請求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將B的坐標代入CB的解析式可得b的值，進而可得C的坐標；
（2）根據BC的坐標，易得△AOC與△COD中，對應邊的比值相等，再根據OC⊥AB，易得兩個三角形相似；（3）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，以三點的坐標代入解析式得方程組，解可得abc的值，即可得拋物線的解析式；
（4）假設存在并設出其坐標，根據三角形面積相等易得|y|=|OC|=1，分y的值為1與-1兩種情況討論，進而可得答案．
解答：解：（1）以B（，0）代入y=2x+b，2×+b=0，（2分）
得：b=-1則有C（0，-1）．（3分）

（2）∵OC⊥AB，且，（5分）
∴△AOC∽△COB．（6分）

（3）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，以三點的坐標代入解析式得方程組：
，（8分）
所以y=x²+x-1．（9分）

（4）假設存在點P（x，y）
依題意有，
得：|y|=|OC|=1．（10分）
①當y=1時，有x²+x-1=1
即x²+x-2=0，
解得：，（11分）
②當y=-1時，有x²+x-1=-1，
即x²+x=0，
解得：x₃=0（舍去），．
∴存在滿足條件的點P，它的坐標為：．（12分）
點評：[點評]此題綜合性較強，4個小題的坡度設置較好，區分度也把握地很好，是道考查學生初中三年學習成果的好題，第4小題中不要忘了絕對值，否則會導致少解．