Question

在平面直角坐標系內有兩點A（-2，0），B（

1

2

，0），CB所在直線為y=2x+b，
（1）求b與C的坐標；
（2）連接AC，求證：△AOC∽△COB；
（3）求過A，B，C三點且對稱軸平行于y軸的拋物線解析式；
（4）在拋物線上是否存在一點P（不與C重合），使得S_△ABP=S_△ABC？若存在，請求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將B的坐標代入CB的解析式可得b的值，進而可得C的坐標；
（2）根據BC的坐標，易得△AOC與△COD中，對應邊的比值相等，再根據OC⊥AB，易得兩個三角形相似；（3）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，以三點的坐標代入解析式得方程組，解可得abc的值，即可得拋物線的解析式；
（4）假設存在并設出其坐標，根據三角形面積相等易得|y|=|OC|=1，分y的值為1與-1兩種情況討論，進而可得答案．

解答：解：（1）以B（

1

2

，0）代入y=2x+b，2×

1

2

+b=0，（2分）
得：b=-1則有C（0，-1）．（3分）

（2）∵OC⊥AB，且

|OB|

|OC|

=

|OC|

|OA|

=

1

2

，（5分）
∴△AOC∽△COB．（6分）

（3）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，以三點的坐標代入解析式得方程組：

(- 1 2 )2a+ 1 2 b+c=0 (-2)2a+(-2)b+c=0 c=-1

?

a=1 b= 3 2 c=-1

，（8分）
所以y=x²+

3

2

x-1．（9分）

（4）假設存在點P（x，y）
依題意有

S△ABP

S△ABC

=

1 2 |AB|•|y|

1 2 |AB|•|OC|

=1，
得：|y|=|OC|=1．（10分）
①當y=1時，有x²+

3

2

x-1=1
即x²+

3

2

x-2=0，
解得：x1=

-3+ 41

4

，x2=

-3- 41

4

（11分）
②當y=-1時，有x²+

3

2

x-1=-1，
即x²+

3

2

x=0，
解得：x₃=0（舍去），x4=-

3

2

．
∴存在滿足條件的點P，它的坐標為：(-

3

2

，-1)，(

-3+ 41

4

，1)，(

-3- 41

4

，1)．（12分）

點評：[點評]此題綜合性較強，4個小題的坡度設置較好，區分度也把握地很好，是道考查學生初中三年學習成果的好題，第4小題中不要忘了絕對值，否則會導致少解．