Question

如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，AB在x軸上，以AB為直徑的半⊙Oˊ與y軸正半軸交于點C，連接BC，AC。CD是半⊙Oˊ的切線，AD⊥CD于點D。

（1）求證：∠CAD =∠CAB；

（2）已知拋物線y=ax2+bx+c過A、B、C三點，AB=10，AC=2BC。

①求拋物線的解析式；

②判斷拋物線的頂點E是否在直線CD上，并說明理由。

Answer 1

（1）證明見解析；（2）y=-x2-x+4；在，理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）連接O′C，由CD是⊙O的切線，可得O′C⊥CD，則可證得O′C∥AD，又由O′A=O′C，則可證得∠CAD=∠CAB；

（2）①首先證得△CAO∽△BCO，根據相似三角形的對應邊成比例，可得OC2=OA•OB，又由tan∠CAO=tan∠CAD=，則可求得CO，AO，BO的長，然后利用待定系數法即可求得二次函數的解析式；

②首先證得△FO′C∽△FAD，由相似三角形的對應邊成比例，即可得到F的坐標，求得直線DC的解析式，然后將拋物線的頂點坐標代入檢驗即可求得答案；

試題解析：（1）證明：連接O′C，

∵CD是⊙O′的切線，

∴O′C⊥CD，

∵AD⊥CD，

∴O′C∥AD，

∴∠O′CA=∠CAD，

∵O′A=O′C，

∴∠CAB=∠O′CA，

∴∠CAD=∠CAB；

（2）【解析】
①∵AB是⊙O′的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵OC⊥AB，

∴∠CAB=∠OCB，

∴△CAO∽△BCO，

∴，

即OC2=OA•OB，

∵tan∠CAO=tan∠CAD=，

∴AO=2CO，

又∵AB=10，

∴OC2=2CO（10-2CO），

解得CO1=4，CO2=0（舍去），

∴CO=4，AO=8，BO=2

∵CO＞0，

∴CO=4，AO=8，BO=2，

∴A（-8，0），B（2，0），C（0，4），

∵拋物線y=ax2+bx+c過點A，B，C三點，

∴c=4，

由題意得：，

解得：，

∴拋物線的解析式為：y=-x2-x+4；

②設直線DC交x軸于點F，

∴△AOC≌△ADC，

∴AD=AO=8，

∵O′C∥AD，

∴△FO′C∽△FAD，

∴ ，

∴O′F•AD=O′C•AF，

∴8（BF+5）=5（BF+10），

∴BF=，F（，0）；

設直線DC的解析式為y=kx+m，

則

，

解得： ，

∴直線DC的解析式為y=-x+4，

由y=-x2-x+4=-（x+3）2+得頂點E的坐標為（-3，），

將E（-3，）代入直線DC的解析式y=-x+4中，

右邊=-×（-3）+4==左邊，

∴拋物線頂點E在直線CD上；

考點：二次函數綜合題．