Question

已知：點A，B在函數y=-圖象上，AB=2AO，AP∥x軸，BP∥y軸，AP，BP交于點P，BP交x軸與點F，AE⊥x軸于點E，交OP與點Q，連接QB，設OE=a，OF=b
（1）求點P的坐標（用a，b的代數式表示）；
（2）求證：四邊形APBQ是矩形；
（3）求證：∠AOP=2∠POF．

Answer 1

解：（1）由題意得，P_橫=b，A_橫=a，
∵AP∥x軸，BP∥y軸，AE⊥x軸，
∴四邊形APFE為矩形，
∴A_縱=P_縱，
將A_橫=a代入y=-，可得A_縱=-，
故可得點P的坐標為（b，-）；
（2）由題意可得，點B的坐標為（b，-），
則BF=，
∵△OEQ∽△PAQ，
∴==，
又∵EQ+QA=AE=，
∴解得：EQ=，
∴AQ=BP，
∴四邊形APBQ為平行四邊形，
∵∠APE=90°，
∴四邊形APBQ是矩形．
（3）

∵AP∥x軸，
∴∠POF=∠CPA，
∵CA=CP，
∴∠CAP=∠CPA，
∴∠AC0=2∠CPA，
又∵AB=2AO，
∴AO=AC，
∴∠AOP=∠ACO=2∠CPA=2∠POF．
分析：（1）點P的橫坐標，可以直接得出，將點A的橫坐標代入反比例函數解析式，可得出點A的縱坐標，也即點P的縱坐標；
（2）先求出PB，根據△OEQ∽△PAQ，求出AQ，判斷出BP=QA，這樣可判斷出四邊形APBQ為平行四邊形，結合AP⊥BP可得出結論；
（3）根據矩形的性質可得∠ACO=2∠POF，然后判斷出AO=AC，根據∠AOP=∠ACO，可得出結論．
點評：本題屬于反比例函數綜合題，涉及了矩形的判定、點的坐標與線段長度的轉化、三角形的外角，綜合性較強，解答本題的關鍵之處在于判斷四邊形APBQ為矩形，需要我們結合坐標確定AQ=PB，難度較大．