Question

9．如圖，四邊形ABCF內接于⊙O，∠BAF=90°，延長半徑AO交CF于點E，作ED⊥AB于點D，ED與CB的延長線交于點P．連接AP．
（1）求證：PD•PE=PB•PC；
（2）求證：PA為⊙O的切線；
（3）連接AC，若AE：AC=1：$\sqrt{3}$，AB=6，求EF的長．

Answer 1

分析 （1）只要證明△PDB∽△PCE，得$\frac{PD}{PC}$=$\frac{PB}{PE}$即可證明．
（2）如圖2中，連接BF、AC．只要證明A、E、C、P四點共圓，推出∠EAP+∠ECP=180°，由∠ECP=90°，推出∠EAP=90°即可．
（3）如圖3中，連接AC．由△ABP∽△AFE，得$\frac{PB}{EF}$=$\frac{PA}{AE}$，即$\frac{PB}{PA}$=$\frac{EF}{AE}$，由△APB∽△CPA，得$\frac{AB}{AC}$=$\frac{PB}{PA}$，推出$\frac{AB}{AC}$=$\frac{EF}{AE}$，即EF=AB•$\frac{AE}{AC}$由此即可證明．

解答 （1）證明：如圖1中，

∵∠FAB=90°，∠FAB+∠FCB=180°，
∴∠ECB=90°
∵ED⊥AB
∴∠PDB=∠OCE=90°，
∵∠DPB=∠EPC，
∴△PDB∽△PCE，
∴$\frac{PD}{PC}$=$\frac{PB}{PE}$，
∴PD•PE=PB•PC．

（2）證明：如圖2中，連接BF、AC．

∵∠EDB=∠FAB=90°，
∴PE∥AE，
∴∠FAE=∠AEP，
∵∠FAB=90°，
∴BF是直徑，
∴OF=OA，
∴∠OFA=∠OAF=∠ACP，
∴AEP=∠ACP，
∴A、E、C、P四點共圓，
∴∠EAP+∠ECP=180°，
∵∠ECP=90°，
∴∠EAP=90°，
∴OA⊥AP，
∴PA是⊙O的切線．

（3）解：如圖3中，連接AC．

由（2）可知，∠OAP=90°，∠FAE=∠ACB，
∴∠OAD+∠PAD=90°，∠EAF+∠OAD=90°，
∴∠FAE=∠PAB=∠ACP，
∵∠ABP=∠AFE，
∴△ABP∽△AFE，
∴$\frac{PB}{EF}$=$\frac{PA}{AE}$，
∴$\frac{PB}{PA}$=$\frac{EF}{AE}$，
∵∠PAB=∠ACP，∠APB=∠CPA，
∴△APB∽△CPA，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{PB}{PA}$，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{EF}{AE}$，
∴EF=AB•$\frac{AE}{AC}$，
∵AB=6，AE：AC=1：$\sqrt{3}$，
∴EF=2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質、切線的判定、四點共圓等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會添加常用輔助線，需要正確尋找相似三角形，屬于中考壓軸題．