Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC+BC=8，∠ACB的平分線交AB于點O，以O為圓心的⊙O與AC相切于點D．
（1）求證：⊙0與BC相切；
（2）當AC=2時，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）過點O作OF⊥BC，垂直為F，連接OD，
∵AC是圓的切線，
∴OD⊥AC，
又OC為∠ACB的平分線，
∴OF=OD，
∴BC與⊙0相切；

（2）由（1）知BC與⊙0相切，
∵D、F為切點，
∴OD⊥AC，OF⊥BC，OD=OF，
S_△ABC=S_△AOC+S_△BOC
=

1

2

AC•BC=

1

2

AC•OD+

1

2

BC•OF
∵AC+BC=8，AC=2，
∴BC=6，
∴

1

2

×2×6=

1

2

×2×OD+

1

2

×6×OF，
而OD=OF．
∴OD=

3

2

，
即⊙O的半徑為

3

2

．