Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（4，0）兩點，與y軸交于點C（0，2），

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）如圖，在拋物線對稱軸上取兩個點G、H（G在H的上方），且滿足GH=1，連接CG，AH，求四邊形CGHA的周長的最小值；

（3）如圖，點P是拋物線第一象限的一個動點，過點P作PQ⊥x軸于點Q，交BC于點D，PE⊥BC于點E，設△PDE的面積為S，求當S取得最大值時點P的坐標，并求S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）++1．（3）點P的坐標為（2，3）時，S取最大值，最大值為．

【解析】

（1）由點A，B，C的坐標，利用待定系數法可求出拋物線的函數表達式；

（2）將拋物線的函數表達式變形為頂點式，可得出拋物線的對稱軸，在y軸上截取CC′=GH（點C′在點C的下方），連接BC′交拋物線對稱軸于點H，此時四邊形CGHA的周長取最小值，由點C的坐標結合GH=1可得出點C′的坐標，由點A，C，B，C′的坐標利用勾股定理可求出AC，BC′的長度，將其代入四邊形CGHA的周長的最小值=AC+BC′+GH中，即可求出結論；

（3）由點B，C的坐標，利用待定系數法可求出直線BC的函數表達式，設點P的坐標為（m，-m2+m+2）（0＜m＜4），則點D的坐標為（m，-m+2），進而可得出PD的長度，由PE⊥BC，PQ⊥x軸及∠PDE=∠BDQ可得出∠DPE=∠DBQ，結合tan∠DPE=可得出PE=2DE，PD=DE，再利用三角形的面積公式可得出S=PD2，由PD=-m2+2m，利用二次函數的性質可求出PD的最大值，代入S=PD2中即可求出S的最大值．

（1）將A（-1，0），B（4，0），C（0，2）代入y=ax2+bx+c，得：

，解得：，

∴拋物線的函數表達式為y=-x2+x+2．

（2）∵y=-x2+x+2=-（x-）2+，

∴拋物線的對稱軸為直線x=．

如圖2，在y軸上截取CC′=GH（點C′在點C的下方），連接BC′交拋物線對稱軸于點H．

∵CC′∥GH，

∴四邊形CC′HG為平行四邊形，

∴C′H=CG．

又∵點A，B關于拋物線的對稱軸對稱，

∴BH=AH，

∴AH+CG=BH+C′H=BC′，即此時四邊形CGHA的周長取最小值．

∵點C的坐標為（0，2），GH=1，

∴點C′的坐標為（0，1）．

∵點A的坐標為（-1，0），點B的坐標為（4，0），

∴AC==，BC′==，

∴四邊形CGHA的周長的最小值=AC+BC′+GH=++1．

（3）設直線BC的函數表達式為y=kx+d（k≠0），

將B（4，0），C（0，2）代入y=kx+d，得：

，解得：，

∴直線BC的函數表達式為y=-x+2．

設點P的坐標為（m，-m2+m+2）（0＜m＜4），則點D的坐標為（m，-m+2），

∴PD=-m2+m+2-（-m+2）=-m2+2m．

∵PE⊥BC，PQ⊥x軸，

∴∠PED=∠BQD=90°．

∵∠PDE=∠BDQ，

∴∠DPE=∠DBQ，

∴tan∠DPE=，

∴PE=2DE，PD=DE，

∴S=DEPE=×PD×PD=PD2．

∵在PD=-m2+2m=-（m-2）2+2中，-＜0，

∴當m=2時，PD取最大值，最大值為2，

∴當點P的坐標為（2，3）時，S取最大值，最大值為．