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已知x、y均為實數,且滿足xy+x+y=17,x2y+xy2=66,求:代數式x4+x3y+x2y2+xy3+y4的值.
【答案】分析:由已知條件xy+(x+y)=17,x2y+xy2=xy(x+y)=66,可以看出xy和(x+y)是方程t2-17t+66=0的兩個實數根,可得出xy=11,x+y=6時,x、y是方程v2-6v+11=0的兩個根或xy=6,x+y=11時,x、y是方程u2-11u+6=0的兩個根,根據根的判別式△=b2-4ac,判斷兩個方程有無實數根,有實數根時可以整理出x2+y2=(x+y)2-2xy,把原代數式化簡為含x2+y2的形式,代入求值即可.
解答:解:由已知條件可知xy和(x+y)是方程t2-17t+66=0的兩個實數根,由t1=6,t2=11

當xy=11,x+y=6時,x、y是方程v2-6v+11=0的兩個根
∵△1=36-44<0
∴此方程沒有實數根
當xy=6,x+y=11時,x、y是方程u2-11u+6=0的兩個根
∵△2=121-24>0
∴此方程有實數根,這時x2+y2=(x+y)2-2xy=109
∴x4+x3y+x2y2+xy3+y4=x4+y4+x2y2+xy(x2+y2)=(x2+y22-x2y2+xy(x2+y2)=12499.
點評:此題綜合性比較強,主要考查:
①一元二次方程根的判別式的有關內容.根的判別式△=b2-4ac>0?方程有兩個不相等的實數根;△=0?方程有兩個相等的實數根;△<0?方程沒有實數根.
②一元二次方程根與系數的關系:如果一個一元二次方程的兩根是x1、x2,那么這個一元二次方程為x2-(x1+x2)x+x1x2=0.
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解不等式與化簡:
(1)已知a、b均為實數,且
2a+6
+|b-
2
|=0
,解關于x的不等式(a+2)x+b2>a-1.
(2)已知a,b,c在數軸上的位置如圖所示,
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試化簡:
a2
-|a+b|+
(c-a)2
+|b+c|

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