Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=DC，點E、P在BC邊上，點Q在CD邊上，將△ABE沿AE折疊，使點B落在梯形對角線AC上，記該點為點F，再將△CPQ沿PQ折疊，使點C與點F重合．下列四個結論正確的有（ ）
（1）EF∥PQ；（2）四邊形PCQF是菱形；（3）sin∠BCD=；（4）若射線EF經過D點，則．

A．（1）（2）
B．（2）（3）
C．（1）（3）
D．（1）（2）（3）（4）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據∠ABC=90°，△ABE沿AE折疊，得出∠AFE=90°，再根據△CPQ沿PQ折疊，得出∠FOP=90°，最后根據平行線的判定即可得出EF∥PQ；
（2）根據AD∥BC，得出∠DAC=∠ACB，再根據AD=CD，得出∠ACB=∠ACD，在△COQ和△COP中，根據ASA證出△COQ≌△COP，OP=OQ，最后根據OC=OF，即可得出四邊形PCQF是菱形；
（3）根據∠ABC=90°，得出sin∠BCD=，再根據AD=CD，即可得出sin∠BCD=；
（4）根PQ⊥AC，DE⊥AC，得出PQ∥DE，再根據CO=FO，得出EP=CP，S_△CEF=2S_△PEF，在△CFE=△CFD中，根據ASA證出△CFE≌△CFD，最后根據AD=CD，DF⊥AC，得出AF=CF，S_△ADF=S_△CDF=S_△CFE=S_△AFE=S_△AEB=2S_△PEF，即可得出S_梯形ABCD=10S_△PEF．
解答：解：（1）∵∠ABC=90°，△ABE沿AE折疊，
∴∠AFE=90°，
∵△CPQ沿PQ折疊，
∴∠FOP=90°，
∴∠AFE=∠FOP，
∴EF∥PQ；
故本選項正確；
（2）∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵AD=CD，
∴∠DAC=∠ACD，
∴∠ACB=∠ACD，
在△COQ和△COP中，
，
∴△COQ≌△COP，
∴OP=OQ，
∵OC=OF，
∴四邊形PCQF是菱形；
故本選項正確；
（3）∵∠ABC=90°，
∴sin∠BCD=，
∵AD=CD，
∴sin∠BCD=，
故本選項正確；
（4）∵PQ⊥AC，DE⊥AC，
∴PQ∥DE，
∵CO=FO，
∴EP=CP，
∴S_△CEF=2S_△PEF，
在△CFE=△CFD，
，
∴△CFE≌△CFD，
∵AD=CD，DF⊥AC，
∴AF=CF，
∴S_△ADF=S_△CDF=S_△CFE=S_△AFE=S_△AEB=2S_△PEF，
∴S_梯形ABCD=10S_△PEF，
∴=，
故本選項正確；
故選D．
點評：此題考查了四邊形的綜合，用到的知識點是菱形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，平行線的性質，銳角三角函數等，綜合運用有關知識是解題的關鍵．