Question

已知拋物線L：y=x²-（k-2）x+（k+1）²
（1）證明：不論k取何值，拋物線L的頂點C總在拋物線y=3x²+12x+9上；
（2）已知-4＜k＜0時，拋物線L和x軸有兩個不同的交點A、B，求A、B間距取得最大值時k的值；
（3）在（2）A、B間距取得最大值條件下（點A在點B的右側），直線y=ax+b是經過點A，且與拋物線L相交于點D的直線．問是否存在點D，使△ABD為等邊三角形？如果存在，請寫出此時直線AD的解析式；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出拋物線的頂點坐標，然后代入函數解析式中，根據左右兩邊相等即可作出證明．
（2）設A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＞x₂，利用求根公式得出兩根的表達式，繼而表示出AB的長，然后可計算出最大值．
（3）若△ABD為等邊三角形，那么點D必在拋物線的對稱軸上，即只有拋物線的頂點才有可能符合D點的條件．首先，根據（2）的結果求出A、B、D三點坐標，根據這三點坐標特點判斷一下△ABD是否符合等邊三角形的特征，若符合，再根據待定系數法求出直線AD的解析式．
解答：解：（1）拋物線L的頂點坐標C是（，），
將頂點坐標C代入y=3x²+12x+9，
左邊=，右邊=3（）²+12（）+9=，
故可得：左邊=右邊，
所以無論k取何值，拋物線L的頂點C總在拋物線y=3x²+12x+9上；

（2）已知-4＜k＜0時，拋物線L和x軸有兩個不同的交點A、B，
設A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＞x₂，
依題意x_1，2=，
|AB|=|x₁-x₂|=||
===，
由此可知，當k=-2時，AB達到最大值即2，
而k=-2恰好在-4＜k＜0內，
所以A、B間距取得最大值時k的值為-2．

（3）存在．
因為若△ABD是等邊三角形，則點D應在線段AB的垂直平分線上，即在此拋物線的對稱軸上，
又∵點D在拋物線上，
∴若滿足條件的D存在，點D應是此拋物線的頂點，
當k=-2時，拋物線L：y=x²+4x+1，頂點D（-2，-3），
解方程x²+4x+1=0，得x₁=-2+，x₂=-2-，
所以A（-2+，0），B（-2-，0），
如圖，在△ABD中，DB=DA，
E為AB中點，AB=|（-2+）-（-2-）|=2，
∴AE=，tan∠BAD==，
∴∠BAD=60°，
∴△ABD為等邊三角形，
因為直線y=ax+b經過點A（-2+，0）、D（-2，-3），
所以依題意把k=2代入，
解得：，
所以所求為y=x-3+2．
點評：該題考查了二次函數綜合題，其中的知識點有：函數解析式的確定、根與系數的關系、等邊三角形的性質等知識；掌握二次函數與方程的關系以及拋物線的對稱性是解答此題的關鍵．