Question

如圖1，P是線段AB上的一點，在AB的同側作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，連接CD，點E、F、G、H分別是AC、AB、BD、CD的中點，順次連接E、F、G、H。
（1）猜想四邊形EFGH的形狀，直接回答，不必說明理由；
（2）當點P在線段AB的上方時，如圖2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他條件不變，（1）中的結論還成立嗎？說明理由；
（3）如果（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其他條件不變，先補全圖3，再判斷四邊形EFGH的形狀，并說明理由。

Answer 1

解：（1）四邊形EFGH是菱形； （2）成立， 理由：連接AD，BC， ∵ ∴ 即 又∵， ∴（SAS） ∴ ∵E、F、G、H分別是AC、AB、BD、CD的中點， ∴分別是的中位線， ∴ ∴ ∴四邊形EFGH是菱形； （3）補全圖形，如答圖， 判斷四邊形EFGH是正方形， 理由：連接， ∵（2）中已證， ∴， ∴ ∴ 又∵， ∴， ∴ ∵（2）中已證GH，EH分別是的中位線， ∴ ∴ 又∵（2）中已證四邊形EFGH是菱形， ∴菱形EFGH是正方形。