Question

（2010•莆田質檢）如圖，矩形ABCD（點A在第一象限）與x軸的正半軸相交于M，與y的負半軸相交于N，AB∥x軸，反比例函數的圖象y=過A、C兩點，直線AC與x軸相交于點E、與y軸相交于點F．
（1）若B（-3，3），直線AC的解析式為y=ax+b．
①求a的值；
②連接OA、OC，若△OAC的面積記為S_△OAC，△ABC的面積記為S_△ABC，記S=S_△ABC-S_△OAC，問S是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，請說明理由．
（2）AE與CF是否相等？請證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）①由于四邊形ABCD是矩形，且AB∥x軸，可根據B的坐標，表示出A、C的坐標，將它們分別代入直線AC的解析式中，消去b后即可求得a的值；
②由于四邊形ABCD是矩形，且AC是矩形的對角線，則△ABC和△ACD的面積相等，因此△ABC、△AOC的面積差即為△ACD、△AOC的面積差，那么由△OAM、△OCN以及矩形OMDN的面積和即可求得S、k的函數關系式，根據自變量的取值范圍及函數的性質即可判斷出S是否具有最小值．
（2）連接MN，設AB、BC與坐標軸的交點分別為P、Q，易證得矩形APOM和矩形CQON的面積相等，那么DN•AD=DM•CD，將此式化為比例式，即可證得△DMN∽△DAC，根據相似三角形得到的等角，即可判定MN∥AC，由此可證得四邊形AFNM、四邊形CEMN都是平行四邊形，即可得到CE=AF=MN，由此可證得AE=CF．
解答：解：（1）①∵四邊形ABCD是矩形，且AB∥x軸，B（-3，3），
∴A（，3）、C（-3，-）．
∵y=ax+b經過A、C兩點，
∴，消去b得：（+3）a=+3．
∵k＞0，故+3≠0，∴a=1．
②S=S_△ABC-S_△OAC=S_△ACD-S_△OAC=S_△AOM+S_△CON+S_矩形ONDM，
∴S=++=（k+）²-；
∴當k＞-時，S隨k的增大而增大，
由于k＞0，故k沒有最小值，S也沒有最小值．

（2）AE=CF，理由如下：
連接MN，設AB與y軸的交點為P，BC與x軸的交點為Q；
則S_矩形APOM=S_矩形CQON=k，
∴DN•AD=DM•CD，即，
又∵∠D=∠D，
∴△DNM∽△DCA，得∠DNM=∠DCA，
∴MN∥AC；
又∵AD∥y軸，故四邊形AFNM是平行四邊形，
同理四邊形CNME是平行四邊形，
∴CE=MN=AF，故AE=CF．
點評：此題是反比例函數的綜合題，涉及到函數圖象交點坐標的求法、圖形面積的求法、矩形的性質、二次函數的應用以及平行四邊形、相似三角形的判定和性質，綜合性強，難度較大．