Question

已知：△AOB中，AB=OB=2，△COD中，CD=OC=3，∠ABO=∠DCO．連接AD、BC，點M、N、P分別為OA、OD、BC的中點．
（1）如圖1，若A、O、C三點在同一直線上，且∠ABO=60°，則△PMN的形狀是______，此時=______；
（2）如圖2，若A、O、C三點在同一直線上，且∠ABO=2α，證明△PMN∽△BAO，并計算的值（用含α的式子表示）；
（3）在圖2中，固定△AOB，將△COD繞點O旋轉，直接寫出PM的最大值．

Answer 1

解：（1）連接BM，CN，
∵△AOB中，AB=OB=2，△COD中，CD=OC=3，∠ABO=60°，
∴△AOB與△COD是等邊三角形，
又∵點M、N、P分別為OA、OD、BC的中點，
∴BM⊥AC，CN⊥BD，∠MBO=∠ABO=∠NCO=∠OCD=30°，
∴PM=PN=BC，
∴∠PBM=∠PMB，∠PCN=∠PNC，
∵∠BAO=∠DCO=60°，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴∠MBP+∠BCN=180°-∠ABM-∠DCN=120°，
∴∠BPM+∠NPC=360°-2（∠MBP+∠BCN）=120°，
∴∠MPN=60°，
∴△PMN是等邊三角形，
∴PM=PN=MN，
∵AD=2MN，BC=2PM，
∴=1．

（2）證明：連接BM、CN．
由題意，得BM⊥OA，CN⊥OD，∠AOB=∠COD=90°-α．
∵A、O、C三點在同一直線上，∴B、O、D三點在同一直線上．
∴∠BMC=∠CNB=90°．∵P為BC中點，
∴在Rt△BMC中，．
在Rt△BNC中，，∴PM=PN．
∴B、C、N、M四點都在以P為圓心，為半徑的圓上．∴∠MPN=2∠MBN．
又∵，∴∠MPN=∠ABO．∴△PMN∽△BAO．
∴．由題意，，又．
∴．∴．
在Rt△BMA中，．
∵AO=2AM，∴．∴．

（3）．
當CD∥AB時，即四邊形ABCO是梯形時，PM有最大值．
PM=（AB+CD）÷2=（2+3）÷2=．

分析：（1）由于AB=OB，CD=OC，∠ABO=∠DCO，且∠ABO=60°，則△AOB和△COD都為等邊三角形，又A、O、C三點在同一直線上，則△PMN為等邊三角形，AD=BC．
（2）連接BM、CN，由于△ABO與△MPN都為等腰三角形，且證得∠MPN=∠ABO，則△PMN∽△BAO，的值可在Rt△BMA中求得．
（3）結合圖形，直接可寫出△COD繞點O旋轉后PM的最大值．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質及等邊三角形的確定條件，綜合性強，較為復雜．