Question

（2008•武漢）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠BAC的平分線AD交⊙O于點D，DE⊥AC，交AC的延長線于點E，OE交AD于點F．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若=，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，只需證明OD⊥DE即可；
（2）連接BC，設AC=3k，AB=5k，BC=4k，可證OD垂直平分BC，利用勾股定理可得到OG，得到DG，于是AE=4k，然后通過OD∥AE，利用相似比即可求出的值．
解答：（1）證明：連接OD，
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ADO，
∵∠EAD=∠BAD，
∴∠EAD=∠ADO，
∴OD∥AE，
∴∠AED+∠ODE=180°，
∵DE⊥AC，即∠AED=90°，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；

（2）解：連接BC，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
又∵OD∥AE，
∴∠OGB=∠ACB=90°，
∴OD⊥BC，
∴G為BC的中點，即BG=CG，
又∵=，
∴設AC=3k，AB=5k，根據勾股定理得：BC==4k，
∴OB=AB=，BG=BC=2k，
∴OG==，
∴DG=OD-OG=-=k，
又∵四邊形CEDG為矩形，
∴CE=DG=k，
∴AE=AC+CE=3k+k=4k，
而OD∥AE，
∴===．
點評：考查了切線的判定定理，能夠綜合運用角平分線的性質、全等三角形的判定和性質以及平行線分線段成比例定理．