Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點M的坐標是（-2，），⊙M與y軸相切于點C，與x軸相交于A，B兩點．

(1)證明：△MAB是等邊三角形．

(2)在⊙M上是否存在點D，使△ACD是直角三角形，若存在，試求點D的坐標；若不存在，請說明理由．

(3)若P（m，n）是過A，B，C三點的拋物線上一點，當∠APB≤30°時，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）D點的坐標為（-4，）或D（-1，）；（3）m≥0或m≤-4．

【解析】

（1）連MC，則OM⊥y軸于點C，過點M作MN⊥x軸于點N，根據點M的坐標得到MB、MN，再根據勾股定理求出BN即可求出AB的長度，由此得到結論；

（2）由△ACD是直角三角形分三種情況分別求出點D的坐標；

（3）連接AC、BC，根據等邊三角形的性質及圓周角定理求出∠ABC的度數，確定過A，B，C三點的拋物線上點C的對稱點的坐標即可得到答案.

（1）證明：連MC，則OM⊥y軸于點C，且MC=2，

過點M作MN⊥x軸于點N，

∵點M的坐標是（-2，）,

∴MN=，

∵MA=MB=MC=2，

∴,

∴AB=2=MA=MB，

∴△MAB是等邊三角形．

（2）分三種情況

第一種情況，

當以A為直角頂點時，CD為直徑，

∴CD=4，

∴D（-4，）；

第二種情況，

當點C為直角頂點時，

AD為直徑，

OB=2-1=1，

連接BD，則DB⊥x軸，

由勾股定理得：BD=，

∴D（-1，）；

第三種情況，

當點D為直角頂點時，

AC不可能為直徑，

故不可能D為直角頂點，

所以所求D點的坐標為（-4，）或D（-1，）；

（3）連接AC、BC，

∵△MAB是等邊三角形，

∴∠AMBA=60°，

∴∠ACB=30°，

∵過點A、B、C的拋物線的對稱軸是直線x=-2，C（0,2），

∴點C的對稱點的坐標是（-4,2），

∴當∠APB≤30°時，m≥0或m≤-4．