Question

如圖，⊙O的半徑r=25，四邊形ABCD內接圓⊙O，AC⊥BD于點H，P為CA延長線上的一點，且∠PDA=∠ABD．
（1）試判斷PD與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若tan∠ADB=，PA=AH，求BD的長；
（3）在（2）的條件下，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先連接DO并延長交圓于點E，連接AE，由DE是直徑，可得∠DAE的度數，又由∠PDA=∠ABD=∠E，可證得PD⊥DO，即可得PD與圓O相切于點D；
（2）首先由tan∠ADB=，可設AH=3k，則DH=4k，又由PA=AH，易求得∠P=30°，∠PDH=60°，連接BE，則∠DBE=90°，DE=2r=50，可得BD=DE•cos30°=；
（3）由（2）易得HC=（-4k），又由PD²=PA×PC，可得方程：（8k）²=（4-3）k×[4k+（25-4k）]，解此方程即可求得AC的長，繼而求得四邊形ABCD的面積．
解答：解：（1）PD與圓O相切．
理由：如圖，連接DO并延長交圓于點E，連接AE，
∵DE是直徑，
∴∠DAE=90°，
∴∠E+∠ADE=90°，
∵∠PDA=∠ABD=∠E，
∴∠PDA+∠ADE=90°，
即PD⊥DO，
∴PD與圓O相切于點D；

（2）∵tan∠ADB=
∴可設AH=3k，則DH=4k，
∵PA=AH，
∴PA=（4-3）k，
∴PH=4k，
∴在Rt△PDH中，tan∠P==，
∴∠P=30°，∠PDH=60°，
∵PD⊥DO，
∴∠BDE=90°-∠PDH=30°，
連接BE，則∠DBE=90°，DE=2r=50，
∴BD=DE•cos30°=；

（3）由（2）知，BH=-4k，
∴HC=（-4k），
又∵PD²=PA×PC，
∴（8k）²=（4-3）k×[4k+（25-4k）]，
解得：k=4-3，
∴AC=3k+（25-4k）=24+7，
∴S_{四邊形ABCD}=BD•AC=×25×（24+7）=900+．
點評：此題考查了切線的性質與判定、三角函數的性質以及切割線定理等知識．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握方程思想與數形結合思想的應用．