Question

如圖，⊙O的半徑為1，點P是⊙O上一點，弦AB垂直平分線段OP．點D是弦AB所對劣弧上的任一點（異于點A、B），過點D作DE⊥AB于點E，以點D為圓心，DE長為半徑作⊙D，連接AD、BD．分別過點A、B作⊙D的切線，兩條切線交于點C．下列結論：
①AB=

3

；②∠ACB為定值60°；③∠ADB=2∠ACB；④設△ABC的面積為S，若

S

DE2

=4

3

則△ABC的周長為3．
其中正確的有（　　）

A．①②③

B．①②④

C．②③④

D．①③④

Answer 1

分析：①在RT△AOF中求出AF，然后可得出AB的長度；②求出AOB，然后利用圓周角的知識求出∠ADB，繼而可得出∠C；③根據②的解答過程即可判斷出正確與否；④根據切線的性質表示出△ABC的面積，然后根據

S

DE2

=4

3

，解出DE，繼而可得出周長．

解答：解：①

由題意得，OF=

1

2

、OA=1，在RT△AOF中，可得AF=

3

2

，從而可得AB=2AF=

3

，故①正確；
②由OF=

1

2

OA，可得∠AOF=60°，從而∠AOB=120°，即劣弧AB=120°，優弧AB=240°，從而∠ADB=120°，
∵∠C+∠CAB+∠CBA=180°，∠ADB+

1

2

（∠CAB+∠CBA）=180°，
∴解得∠C=60°，故②正確；
③根據②的證明過程可得出∠ADB=120°，∠C=60°，故可得∠ADB=2∠ACB，即③正確；
④
由①得，AB=

3

，
∵△ABC的面積為S=

1

2

（AB+AN+CN+BC）×DE=

1

2

（2

3

+2CN）×DE，
∵△ABC的面積為S，

S

DE2

=4

3

，
∴

1 2 (2 3 +2CN)×DE

DE2

=4

3

，

3 DE+ 3 DE2

DE2

，
∵DE=DN=

1

2

CD，
∴CN=

3

DE，
∴可得

3 + 3 DE

DE

=4

3

，
解得：DE=

1

3

，
△ABC的周長=AB+AC+BC=

S

DE

=4

3

DE=

4 3

3

故④錯誤．
綜上可得①②③正確．
故選A．

點評：此題考屬于圓的綜合題目，涉及了切線的性質、角平分線的性質、三角形的面積，④的判斷比較麻煩，需要先求出DE的長度，對于此類題目可以利用排除法來作，這樣可以省下不少時間．