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【題目】正方形ABCD的四個頂點都在⊙O上,E是⊙O上的一點.

(1)如圖,若點E上,FDE上的一點,DF=BE.求證:△ADF≌△ABE;

(2)在(1)的條件下,小明還發現線段DE、BE、AE之間滿足等量關系:DE﹣BE=AE.請你說明理由;

(3)如圖,若點E上.寫出線段DE、BE、AE之間的等量關系.(不必證明)

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【答案】(1)證明見解析;(2)理由見解析;(3)BE-DE=AE.

【解析】

(1)中易證AD=AB,EB=DF,所以只需證明∠ADF=ABE,利用同弧所對的圓周角相等不難得出,從而證明全等;

(2)中易證△AEF是等腰直角三角形,所以EF=AE,所以只需證明DE-BE=EF即可,由BE=DF不難證明此問題;

(3)類比(2)不難得出(3)的結論.

(1)如圖:

在正方形ABCD中,AB=AD,

∵∠1和∠2都對

∴∠1=2,

ADFABE中,

∴△ADF≌△ABE(SAS);

(2)由(1)有ADF≌△ABE,

AF=AE,3=4,

在正方形ABCD中,∠BAD=90°,

∴∠BAF+3=90°,

∴∠BAF+4=90°,

∴∠EAF=90°,

∴△EAF是等腰直角三角形,

EF2=AE2+AF2

EF2=2AE2

EF=AE,

DE-DF=AE,

DE-BE=AE;

(3)BE-DE=AE.理由如下:

BE上取點F,使BF=DE,連接AF,

易證ADE≌△ABF,

AF=AE,DAE=BAF,

在正方形ABCD中,∠BAD=90°,

∴∠BAF+DAF=90°,

∴∠DAE+DAF=90°,

∴∠EAF=90°,

∴△EAF是等腰直角三角形,

EF2=AE2+AF2

EF2=2AE2

EF=AE,

BE-BF=AE,

BE-DE=AE.

練習冊系列答案
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