Question

如圖所示，直線AB、CD相交于點P，點Q、E在AB上，已知：PQ=8，QE=3，sin∠BPC=

5

5

，O為射線QA上的一動點，⊙O的半徑為

5

，開始時，O點與Q點重合，⊙O沿射線QA方向移動．
（1）當圓心O運動到與點E重合時，判斷此時⊙O與直線CD的位置關系，交說明你的理由；
（2）設移動后⊙O與直線CD交于點M、N，若△OMN是直角三角形，求圓心O移動的距離．

Answer 1

分析：（1）過點E作EF⊥CD于點F，求出PE的長，根據sin∠BPC=

5

5

即可求出EF的長，進而可判斷出⊙O與直線CD的位置關系；
（2）過點O作OG⊥CD于點G，由勾股定理求出OG的長，再根據sin∠BPC=

5

5

即可求出OP的長，進而可得出結論．

解答：解：（1）如圖1，過點E作EF⊥CD于點F，
∵PQ=8，QE=3，
∴PE=PQ-QE=8-3=5，
∵sin∠BPC=

5

5

，
∴EF=PE•sin∠BPC=5×

5

5

=

5

，
∴此時⊙O與直線CD相切；

（2）如圖2，當O點在P點的右側時：過點O作OG⊥CD于點G，
∵△OMN是直角三角形，OM=ON=

5

，
∴2OG²=OM²，即OG=

( 5 )2 2

=

10

2

，
∵sin∠BPC=

5

5

，
∴OP=

OG

sin∠BPC

=

10 2

5 5

=

5 2

2

．
∴OQ=PQ-OP=8-

5 2

2

．
如圖3，當點O在點P的左側時，同理可得OP=

5 2

2

，
∴OQ=PQ+OP=8+

5 2

2

答：圓心O移動的距離是8-

5 2

2

或8+

5 2

2

．

點評：本題考查的是直線與圓的位置關系及銳角三角函數的定義，熟知直線與圓的三種位置關系是解答此題的關鍵．