Question

如圖①，如果A₁、A₂、A₃、A₄把圓周四等分，則以A₁、A₂、A₃、A₄為頂點的直角三角形有4個；如圖②，如果A₁、A₂、A₃、A₄、A₅、A₆把圓周六等分，則以A₁、A₂、A₃、A₄、A₅、A₆為頂點的直角三角形有12個；如果A₁、
A₂、A₃、…A_2n把圓周2n等分，則以A₁、A₂、A₃、…A_2n為頂點的直角三角形有________個．

Answer 1

2n（n-1）
分析：根據圓周角定理找到直徑所對的圓周角是直角，然后由一條直徑所對的直角數來尋找規律．
解答：解：由圓周角定理知，直徑所對的圓周角是直角．
∴當A₁、A₂、A₃、A₄把圓周四等分時，該圓中的直徑有A₁A₃，A₂A₄兩條，
∴①當以A₁A₃為直徑時，有兩個直角三角形；
②當以A₂A₄為直徑時，有兩個直角三角形；
∴如果A₁、A₂、A₃、A₄把圓周四等分，則以A₁、A₂、A₃、A₄為頂點的直角三角形有（4÷2）×（4-2）=4個；
當A₁、A₂、A₃、A₄、A₅、A₆把圓周六等分，則以A₁、A₂、A₃、A₄、A₅、A₆為頂點的直角三角形有（6÷2）×（6-2）=12個；
當A₁、A₂、A₃、…A_2n把圓周2n等分，則以A₁、A₂、A₃、…A_2n為頂點的直角三角形有（2n÷2）×（2n-2）=2n（n-1）個．
故答案是：2n（n-1）．
點評：本題考查了圓周角定理：直徑所對的圓周角是直角．解答該題是關鍵是根據直徑的條數、頂點的個數來尋找規律．