Question

射線QN與等邊△ABC的兩邊AB，BC分別交于點M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．動點P從點Q出發，沿射線QN以每秒1cm的速度向右移動，經過t秒，以點P為圓心，cm為半徑的圓與△ABC的邊相切（切點在邊上），請寫出t可取的一切值    （單位：秒）

Answer 1

【答案】分析：求出AB=AC=BC=4cm，MN=AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，分為三種情況：畫出圖形，結合圖形求出即可；
解答：解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC=AM+MB=4cm，∠A=∠C=∠B=60°，
∵QN∥AC，AM=BM．
∴N為BC中點，
∴MN=AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，
分為三種情況：①如圖1，
當⊙P切AB于M′時，連接PM′，
則PM′=cm，∠PM′M=90°，
∵∠PMM′=∠BMN=60°，
∴M′M=1cm，PM=2MM′=2cm，
∴QP=4cm-2cm=2cm，
即t=2；
②如圖2，
當⊙P于AC切于A點時，連接PA，
則∠CAP=∠APM=90°，∠PMA=∠BMN=60°，AP=cm，
∴PM=1cm，
∴QP=4cm-1cm=3cm，
即t=3，
當⊙P于AC切于C點時，連接PC，
則∠CP′N=∠ACP′=90°，∠P′NC=∠BNM=60°，CP′=cm，
∴P′N=1cm，
∴QP=4cm+2cm+1cm=7cm，
即當3≤t≤7時，⊙P和AC邊相切；

③如圖1，
當⊙P切BC于N′時，連接PN′
則PN′=cm，∠PN′N=90°，
∵∠PNN′=∠BNM=60°，
∴N′N=1cm，PN=2NN′=2cm，
∴QP=4cm+2cm+2cm=8cm，
即t=8；
故答案為：t=2或3≤t≤7或t=8．
點評：本題考查了等邊三角形的性質，平行線的性質，勾股定理，含30度角的直角三角形性質，切線的性質的應用，主要考查學生綜合運用定理進行計算的能力，注意要進行分類討論啊．