Question

射線QN與等邊△ABC的兩邊AB，BC分別交于點M，N，且AC//QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．動點P從點Q出發，沿射線QN以每秒1cm的速度向右移動，經過t秒，以點P為圓心，cm為半徑的圓與△ABC的邊相切（切點在邊上），請寫出t可取的一切值                              （單位：秒）．

 

 

Answer 1

【答案】

t=2或3≤t≤7或t=8

【解析】

試題分析：∵QN//AC   ∴∠NMB=∠A=60°  ∠MNB=∠C=60°   ∴△BMN是等邊三角形    ∴MN=MB=2

分三種情況：①⊙P與AB相切（如圖1），過點P作PF⊥AB于點F，當⊙P與AB相切時，PF=，

∵QN//AC   ∴∠AMP=∠A=60°  ∴∠FPM=30°

∴在△PFM中PM=2FM，由勾股定理可得：PM=2，∴QP=QM-PM=4-2=2即t=2；

               圖1

②⊙P與AC相切，3≤t≤7

過點P作PG⊥AC于點G，當G與A重合時（如圖2），

在Rt△PMG中∠PGM=30°  ∴GM=2PM，得PM=1，

由勾股定理可得：PG=，AC是⊙P的切線，

此時QP=QM-MP=4-1=3  即t=3；

當點P運動到圖3位置時，可得NP=1，

此時QP=QM+NM+NP=4+2+1=7  即t=7，

∴3≤t≤7

 

               圖2                                            圖3

③⊙P與BC相切（如圖4），

過點P作PH⊥BC于點H，當⊙P與BC相切時，PH=，

∵QN//AC   ∴∠CNP=∠C=60°  ∴∠HPN=30°

∴在△PHN中PN=2HN，由勾股定理可得：PN=2，∴QP=QM+NM+NP=4+2+2=8即t=8；

綜上所述，t=2或3≤t≤7或t=8時⊙P與△ABC的邊相切.

 

 圖4

考點：1、切線的判定定理；2、等邊三角形性質；3、平行線性質.